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1、序言对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤 利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；解该数学问题；将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结 果的物理意义。数学物理方法 主要内容第一章、复变函数第二章、复变函数的积分第三章、幂级数展开第四章、留数定理第五章、傅里叶变换第六章、拉普拉斯变换第七章、数学物理定解问题第八章、分离变数法第九章、二阶常微分方程级数解法第十章、球函数复变复变 函数函数 论论数学数学 物理物理 方程方程第一篇 复变函数论一. 复数 二. 复数的表示 三. 复数的运算 四.复变函数 五. 导数 六. 解析函数 七. 平面标量场第一章 复变函数复数的引入 需特别指出：可以证明当有三
2、个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负 数开方(参考：范德瓦尔登着代数学,丁石孙 译, 科学出版社，1963年). 至此，我们明白了这 样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念. 卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地 位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识.“ 虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡 儿（Descartes）正式取定的.“虚数”代表的意 思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还 有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外.由 此给虚数披上了一层神秘的外衣.十八世纪，瑞士数学家欧拉十八世纪，瑞士数学家欧拉( (Leonhard EulerLeonhard
3、 Euler ， 1707-17831707-1783) ) 试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之 为为“ “幻想中的数幻想中的数” ”或或“ “不可能的数不可能的数” ”. .他在他在对代数的对代数的 完整性介绍完整性介绍(1768(176817691769年在俄国出版，年在俄国出版，17701770年年 在德国出版在德国出版) )一书中说：因为所有可以想象的数或一书中说：因为所有可以想象的数或 者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数 . . 所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有所以很
4、清楚，负数的平方根不能包括在可能的有 序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就 其本性来说它是不可能的数其本性来说它是不可能的数. . 因为它们只存在于想因为它们只存在于想 象之中象之中. .因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是 EulerEuler首先引入符号作为虚数单位首先引入符号作为虚数单位. .十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家 Wessel(威塞尔)、瑞士的工程师阿尔甘（ Argand）以及德国的数学家高斯（Gauss ）等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何 解释，并使复数得到了实际应用.特别地,
5、 在十九世纪，有三位代表性人物， 即柯西（Cauchy，17891857）、维尔斯 特拉斯（Weierstrass，18151897）、黎 曼（Rieman，18261866）.柯西和维尔斯 特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数， 黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的 不懈努力，终于建立了系统的复变函数论. 1.1 复数的概念复数的无序性实数可以比较大小，是有序的，但 复数不能比较大小，即复数是无序的. 复数的相等如果且则复数的共轭1.2 复数的表示 1.2.1 复数的几何表示复数平面(1)(1)直角坐标表示法直角坐标表示法: :在坐标平面在坐标平面xoyxoy上上, ,用点用点( (x,y
6、x,y) )表示复数表示复数x xy y复矢量复矢量xoyxoy复平面复平面例例: :将将 用代数式用代数式, ,三角式和指数式表示出来三角式和指数式表示出来2 2 复数的几何表示复数的几何表示-复数球面复数球面ppp p复平面上的点复数球面上的点存在一一对应关系复平面上的点复数球面上的点存在一一对应关系1.3 复数的运算1.四则运算 两条基本规则 a 代数运算规则 b 复数的四则运算也满足交换律、结合律和分配律。2 复数的乘幂与方根两个复数相乘，其模等于它们模的乘积 ，其辐角等于它们辐角的和.复数的乘幂复数的乘幂复数的方根例1 求的根的根例2 将与与表达为表达为与与的幂的幂例例3 3试确定不
7、等式所确定的点集是什么图形？ 1.4 复变函数1.4.1 1.4.1 复变函数的定义复变函数的定义若在复数平面若在复数平面( (或复数球面或复数球面) )上存在一个上存在一个 点集点集E,E,对于对于E E的每一点的每一点( (每一个每一个z z值值), ),按按 照一定的规律有一个或多个复数值照一定的规律有一个或多个复数值 与之相对应与之相对应, ,则称则称 为为z z的函数的函数-复变复变 函数函数.z.z称为称为 的宗量记做的宗量记做比较比较 实变函数实变函数区别 a:自从有了复变函数论，实数领域中的 禁 区 或不能解释的问题，比如：负数不能开偶数次方；负数没有对数；指数函数无周期性；正
8、弦、余弦函数的绝对值不能超过1； 等已经不复存在.b:实变函数可以用几何图形表示出来;复变函数不能通过同一平面或同一空间上的几何 图形表示出来,它的几何意义是两个复平面上点集之 间的对应(z平面到w平面的一种映射)例例: :试研究复变函数试研究复变函数将将z z平面的下列曲线变成平面的下列曲线变成平面上的曲线平面上的曲线1.1.双曲线双曲线2.2.倾角倾角的直线的直线1.4.2 1.4.2 区域的概念区域的概念内点内点 z z0 0 z z0 0 外点外点 z z0 0 境界点境界点区域严格的定义是同时满足下列两个条件的点集：(i)全由内点组成；(ii)具有连通性 即点集中的任意两点 都可以用
9、一条折线连接起来且折线的点 全都属于该点集；区域可用B表示注：通常所谓某区域是连通的，即指B中任何两 点都可以用完全属于B的一条折线连接起来 z z1 1z z2 2闭区域闭区域：区域区域B B及境界线组成的点集称为闭区及境界线组成的点集称为闭区 域，用域，用表示表示注：若无特殊声明区域仅包含内点，不含境注：若无特殊声明区域仅包含内点，不含境 界点，区域指的是开区域界点，区域指的是开区域区域区域B B边界闭区域边界闭区域1.4.3 1.4.3 复变函数的例子复变函数的例子多项式多项式为正整数为正整数有理分式有理分式 为正整数为正整数根式根式初等函数定义式初等函数定义式上述极限值的存在和相等和上
10、述极限值的存在和相等和的路径无关的路径无关1.5 1.5 导数导数设函数 是定义于区域 上的单值函数， 若 在 上的某点 极限 存在，且与 的方式无关,则称函数 在点 可导，此极限值称为 在点 的导数，记为 或即1.5.11.5.1求导公式求导公式1.5.2 1.5.2 柯西黎曼条件（柯西黎曼条件（C CR R条件条件 ） 复变函数可导的必要条件复变函数可导的必要条件复变函数可导的充分必要条件复变函数可导的充分必要条件函数函数 的偏导数的偏导数 存在，且连续，并且满足存在，且连续，并且满足C-RC-R条件条件1.6 1.6 解析函数解析函数若函数若函数 在点在点 及其邻域上处处可及其邻域上处处
11、可导，则称导，则称 在点在点 解析解析若函数若函数 在区域在区域DD上的每一点都解析上的每一点都解析 ，则称，则称 是区域是区域DD上的解析函数上的解析函数1.6.11.6.1复变函数在某点解析 某点可导 某点极限存在 某点连续如何判断一个函数是否解析如何判断一个函数是否解析函数函数 在在D D内解析的充要条件：内解析的充要条件：a: a: 及及 在在D D内处处可微内处处可微b: b: 及及 在在D D内处处满足内处处满足C-RC-R条件条件1.6.2 1.6.2 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系1.1.调和函数调和函数：如果在区域：如果在区域B B内的实变函数内的实变函数
12、具有二阶连续偏导数且满足具有二阶连续偏导数且满足laplacelaplace方程方程则称则称 为区域为区域D D内的调和函数，其中内的调和函数，其中是是laplacelaplace算符算符2 2 共轭调和函数共轭调和函数：如果两个实函数如果两个实函数 及及 均为区域均为区域D D内的调和函内的调和函 数且又满足数且又满足C-RC-R条件，则称条件，则称 为为 的共轭调的共轭调 和函数和函数3 3 解析函数，调和函数解析函数，调和函数 及共轭调和函数之间及共轭调和函数之间 的关系的关系若若 在区域在区域B B内解析，由内解析，由C CR R条件条件同理同理由于由于 和和 满足满足C-RC-R条件
13、，所以条件，所以 为为 的共轭调和的共轭调和 函数函数解析函数的两个重要特性解析函数的两个重要特性a:a:b:b:已知一个调和函数，要求构成一个解析函数的方法已知一个调和函数，要求构成一个解析函数的方法不定积分法不定积分法( (推荐推荐) )曲线积分法曲线积分法全微分法全微分法1.7 1.7 平面标量场平面标量场1. 1. 平面静电场平面静电场: : 无源无源复势复势电势电势？通量函数通量函数2. 2. 平面无旋液流平面无旋液流梯度的旋度梯度的旋度0 0速度表示为速度势速度表示为速度势 的梯度的梯度复势复势速度势速度势流量函数流量函数3. 3. 平面温度场平面温度场均匀物体中的稳定的温度分布均匀物体中的稳定的温度分布复势复势温度分布温度分布热流量函数热流量函数
