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1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法 第十二章 Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域； 求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数) 时 ,时为数项级数;时为幂级数;Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法 用它法判别积分审敛法部分和极限
2、Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz审敛法: 若且则交错级数收敛 ,概念:且余项若收敛 , 称绝对收敛若发散 , 称条件收敛Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 例1. 若级数均收敛 , 且证明级数收敛 .证: 则由题设收敛收敛收敛练习题: P320 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 解答提示:P320 题2. 判别下列级数的敛散性:提示: (1) 据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 原级数发散 故原级数收敛发散,收敛
3、,用洛必达法则, 原级数发散 Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 时收敛 ;时, 为 p 级数时收敛; 时发散.时发散 .Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 P320 题3. 设正项级数和也收敛 .法1 由题设根据比较审敛法的极限形式知结论正确.都收敛, 证明级数法2 因 故存在 N 0,当n N 时从而 再利用比较法可得结论 Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 P320 题4. 设级数收敛 , 且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .问级数提示: 对正项级数,由比较判别法可知级数收敛 ,收敛,级数发散 .例如, 取Date高数同济六版目
4、录 上页 下页 返回 结束 P320 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示: (1) p 1 时, 绝对收敛 ;0 p1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2)故原级数绝对收敛.Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 因单调递减, 且但对所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz审敛法知级数收敛 ;Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 因所以原级数绝对收敛 .Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .P3
5、20 题7. 求下列级数的敛散域:练习:(自证) Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 解:当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛域为Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 解: 因故收敛域为级数收敛;一般项不趋于0, 级数发散; Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 例2.解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数 = 其收敛半径注意: 此题Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和函数求积或求导难直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和
6、, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数求和Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求幂级数法1 易求出级数的收敛域为Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 法2 先求出收敛区间则设和函数为Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 练习:解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x0P320 题8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 (4)x0Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 显然 x = 0 时, 级数收敛于0, 根据和函数的连续性 , 有
7、x = 1 时, 级数也收敛 . 即得又 Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 练习:解: 原式=的和 .P320 题9(2). 求级数注: 本题也可利用例3间接求和.例3 Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数和傅式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习:1) 将函数展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解:1. 函数的幂级数展开法Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 2) 设, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,的和. ( 2001考研 )解:于是并求级数Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 D
8、ate高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的傅式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法练习: 上的表达式为将其展为傅氏级数 .P321 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 思考: 如何利用本题结果求级数根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有提示:Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 P320 6 (2); 7 (3); 8 (1), (3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12 作业Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 备用题 设幂级数满足解: 设内收敛, 其和函数(1) 证明(2) 求 y(x) 的表达式.则由代入微分方程得( 2007考研 )Date高数同济六版目录 上页 下页 返回 结束 分析 , 故得(2) 由(1) 知可见Date高数同济六版
