信号分析与处理第4章2

《信号分析与处理第4章2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号分析与处理第4章2（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、信号分析与处理1第4章 离散时间信号的分析在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把 微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变 换的数学工具，把差分方程与卷积和转换为代数方程。 4.2 离散时间信号的z域分析 4.2.1 z变换的定义 1. 抽样信号的拉氏变换 取样样信号xS(t)可写成连续时间连续时间 信号x (t)乘以冲激序列 ，即取上式的双边拉氏变换，考虑到 得信号分析与处理2第4章 离散时间信号的分析2. 双边z变换：上式是复变量z的函数。3. 单边z变换：令，或，则则这样这样 拉普拉斯变换变换 式就可以变变成另一复变变量z的变换变换 式，即 当定

2、义式中n的取值范围为 n0时,双边z变换的定义式就变成了单边z 变换的定义式了。信号分析与处理3第4章 离散时间信号的分析1.z变换存在的条件z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列x(n)的z变 换存在的充分必要条件。 2. z变换的收敛域 满足存在条件的所有z值组成的集合称为z变换的收敛域。简记为简记为 ROC （Region of Convergence）。 若x(n)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致 混淆的情况下，统称它们为z变换。 4.2.2 Z变换的收敛域 信号分析与处理4第4章 离散时间信

3、号的分析例4-1 试根据Z变换收敛域的定义指出下列序列的收敛域。 (1) (2) 解：根据等比级数的求和方法，可求得序列的Z变换为 X1(z)的ROC为为 ，即信号分析与处理5第4章 离散时间信号的分析X2(z)的ROC为为 ，即要描述一个序列的Z变换变换 ，必须须包括Z变换变换 的表达式和Z变换变换 的收 敛敛域ROC两个部分。 由上例可以看出，同一个z变换函数，收敛域不同，其对应的序列 是不相同的。信号分析与处理6第4章 离散时间信号的分析序列特性对收敛域的影响 1. 有限长序列有限长序列的z变换，其收敛域可以直观分析。如果有限长序列x(n)为有界序列，信号分析与处理7第4章 离散时间信号

4、的分析可以看出因果序列的收敛域包括z=点。n10时， 00时， 00，级数在以原点为中心， Rx- 为收敛半径的圆外任何点都绝对收敛。 (3) 两项共同的收敛域为r1 n2， 序列值全为零的序列。 左边序列的z变换表示为(1) 如果n20，第二项为有限长序列，其收敛域为0 r1 ， 其收敛域为r1 1， x(n)的幅度随n的增大而增大，则称为发散序列。单边实指数序列的Z变换为变换为 信号分析与处理20第4章 离散时间信号的分析式中0 为数字角频率，当=0时，称为虚指数序列，虚指数序列 是以2为为周期的周期序列:(2) 复指数序列M=0,1,2, 因cos(2k)=1，sin(2k)=0, 故k

5、=0,1,2, 信号分析与处理21第4章 离散时间信号的分析7. 周期序列如果存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -r1，即x(n)是右边边序列(因果序列)，X(z)应展成z 的负幂级数，则则N(z)和D(z)要按照z的降幂幂（或z-1的升幂幂）次序进进 行排列。 如果收敛敛域是|z|2和|z|2，是因果序列。 将X(z)的分子和分母按z的降幂幂排列，用长长除法有 信号分析与处理41第4章 离散时间信号的分析则 （2）收敛域|z|1，是反因果序列。 将X(z)的分子和分母按z的升幂排列，即 信号分析与处理42第4章 离散时间信号的分析信号分析与处理43第4章 离

6、散时间信号的分析则 利用幂级数展开法求解逆Z变换，方法比较直观和简单，但有时难以 归纳出x(n)的闭式解。 信号分析与处理44第4章 离散时间信号的分析2.部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶 ，将X(z)展成一些简单的逆变换变换 已知的部分分式的和，通过查表求得 各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点 ，可展成下式 信号分析与处理45第4章 离散时间信号的分析观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，即X(z)/z在z=zm的极点留数就是系

7、数Am ， 即求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。取逆变换得 信号分析与处理46第4章 离散时间信号的分析解 先把X(z)写成z的正幂形式 例4.9信号分析与处理47第4章 离散时间信号的分析取逆变换得 信号分析与处理48第4章 离散时间信号的分析通过前面的学习可以看到，连续信号的傅里叶变换、拉普拉斯 变换和离散信号的z变换之间有着密切的联系，在一定的条件下可以 互相转换。本节通过它们之间的关系引出离散时间信号的傅里叶分 析。4.3 离散信号的傅里叶分析4.3.1 离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系 一、s平面与z平面的映射关系对对模拟拟信号x(t)以抽样间样间 隔

8、TS进进行冲激抽样样得到抽样样信号xS(t)= x(nTS)，进进行拉普拉斯变换变换 ，引入了新的复变变量 即 或 上式分别给别给 出了序列x(n)的Z变换变换 X(z)与冲激采样样信号xS(t)的拉普拉 斯变换变换 XS(s)之间间的变换变换 关系。 信号分析与处理49第4章 离散时间信号的分析考察复变变量这这是一个s域到z域的变换变换 。复变变量（直角坐标标形式） 经变换经变换 后也是一个复变变量(极坐标标形式)其中，。重复频频率为为由此可得sz平面有如下的映射关系： 1、s平面的整个虚轴映射到z平面的是单位圆；s平面的右半平面映 射到z平面是单位圆的圆外；s平面的左半平面映射到z平面是单

9、位圆 的圆内。 信号分析与处理50第4章 离散时间信号的分析2、s平面的整个实轴实轴 映射到z平面的是正实轴实轴 ；s平面平行于实轴实轴 （ =0是常数）的直线线映射到z平面是始于原点的辐辐射线线，当 时，平行于实轴的直线映射到z平面的是负实轴。 3、由于是以2为为周期的周期函数， s平面与z平面的映射的水平带带面，这这些水平带带面都互相重叠地映射到整个z平面上。因 此，s平面和z平面的映射关系不是单值单值 的。 关系相当于把s平面分割成无穷多条宽度为二、Z变换与傅里叶变换的关系 单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。因此，若一个 离散时间信号的傅里叶变换存在，它在z平面的收敛域应包

10、含单位圆 。 信号分析与处理51第4章 离散时间信号的分析4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT) 一、离散时间傅里叶变换的定义 把Z变换和反变换重写如下： 当z只在z平面的单位圆上取值 ，即时时，可以得到 离散时间序列x(n)的傅里叶变换，即DTFT（Discrete Time Fourier Transformation）和傅里叶反变换，即IDTFT。 信号分析与处理52第4章 离散时间信号的分析X(ej)又可以写成X(ej)表示序列x(n)的频频域特性，又称为为x(n)的频谱频谱 。其中，|X(ej)| 称为为幅度频谱频谱 ，()称为为相位频谱频谱 ，二者都是的连续连续 函数。 由于e

11、j是变变量以2为为周期的周期性函数，因此X(ej)也是以2 为为周期的周期性函数，即x(n)的频谱频谱 都是随周期变变化的。 =0与=2点为信号的直流分量，=对应信号的最高频率。信号分析与处理53第4章 离散时间信号的分析例4-10 求的离散时间时间 傅里叶变换变换 ，其中|a|1。解 根据式（4-42）可求出离散时间单边指数信号的傅里叶变换为 显然，要使上式成立，必须有|a|1。 图图4-16(a)和(b)给给出了a=0.8时时X(ej)的幅度频谱频谱 和相位频谱频谱 。由于 频谱频谱 的周期性，一般只需要给给出0 2或-区间间的频谱频谱 ， 如图图4.16(c)和(d)所示。 例4-11

12、求序列x(n)=(n)的傅里叶变换变换 。 解 由定义式得 信号分析与处理54第4章 离散时间信号的分析例4-12 求序列x(n)=1的傅里叶变换。 解 显显然，对对x(n)=1的信号不满满足绝对绝对 可和的条件，但可以仿照连续连续 时间时间 信号情况，在变换变换 中引入冲激函数。由于离散时间时间 信号的傅里 叶变换变换 是以2为为周期的，考察下式给给出的等间间隔冲激频谱频谱 函数 利用逆变换公式得 例4-13 若求此序列的傅里叶变换变换 X(ej)。 解：由定义式得 信号分析与处理55第4章 离散时间信号的分析其中，幅频特性为 相频特性为 信号分析与处理56第4章 离散时间信号的分析式中ar

13、g.表示方框号内表达式引入的相移，此处处，其值值在不同区 间间分别为别为 0, , 2, 3。图图4-17绘绘出了R5(n)及其幅频频和相频频特性。 信号分析与处理57第4章 离散时间信号的分析1. 线性2. 时移与频移设X(ej)=DTFTx (n)， 那么时移性质为设X1(ej)=DTFTx1(n)， X2(ej)=DTFTx2(n) 那么DTFTax1(n) + bx2(n) =aX1(ej)+ bX2(ej)二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质 信号分析与处理58第4章 离散时间信号的分析频移(频域移位)性质为4. 反转转与 DTFT的对称性3. 时域信号的线性加权 设X(ej)=

14、DTFTx (n)， 那么线性加权性质为信号分析与处理59第4章 离散时间信号的分析设X(ej)=DTFTx (n)， 那么反转转性质为DTFTx (-n) = X(e-j)= X(e-j) DTFT的对称性（1）共轭对称与共轭反对称序列 满足关系 xe(n)=x*e(-n)的序列xe(n) 称为共轭对称 序列。 将xe(n)用其实部与虚部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n)将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)信号分析与处理60第4章 离散时间信号的分析由上面两公式左边相等，可以得到xer(n)=xer(-n) 和 xei(n)= -

15、xei(-n) 即共轭对称序列的实部是偶函数， 而虚部是奇函数。满足关系xo(n)= - x*o(-n) 的序列xo(n)称为共轭反对称 序列。将x0(n)表示成实部与虚部： xo(n)=xor(n)+jxoi(n) 将上式两边n用-n代替，并取共轭，再取负号，得到 - x*o(-n)= - xor(-n)+jxoi(-n) 由上面两公式左边相等，可以得到xor(n)=-xor(-n) 和 xoi(n)=xoi(-n)即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。信号分析与处理61第4章 离散时间信号的分析例 试分析x(n)=e jn的对称性 解 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jn因此x(n)=x*(-n)，是共轭对称序列，如展成实部与虚部， 得到x(n)=cosn+j sinn由上式表明， 共轭对称序列的实部确实是偶函数， 虚部是奇函数。 (2)一般序列都可用共轭对称(偶部)与共轭反对称(奇部)序列表示x(n)=xe(n)+xo(n) 式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出信号分析与处理62第4章 离散时间信号的分析将上式中的n用-n代替， 再取共轭得到x*(-n)=xe(n)-xo(n) 由上两式可解得 信号分析与处理63第4章 离散时间信号的分析由于n的取