【备课精选】2012年高一数学人教a版必修五教案：3.1《不等关系与不等式》

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1、3.1 不等关系和不等式（第一课时）重重点点：用用不不等等式式（组组）表表示示实实际际问问题题中中的的不不等等关关 系系，并并用用不不等等式式（组组）研研究究含含有有不不等等关关系系的的问问 题题。 难难点点：用用不不等等式式（组组）正正确确表表示示不不等等关关系系。学学习习目目标标学学习习目目标标 1 1. .知知识识与与技技能能: 经历由实际问题建立数学模型的 过程，体会其基本方法。 2 2. .过过程程与与方方法法: : 通过具体情境，感受在现实世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等 式（组）的实际背景 3 3. .情情感感、态态度度和和世世界界观观：通过感受和学习不等式 知识

2、，认识到不等关系是刻画现实世界客观对象 之间联系的一种绝对关系，由此培养学生的辩证 唯物主义思想.学习过程：一、课题引入一、课题引入现实世界和日常生活中，也普遍存在着大量的不等关系，例如： 1、三角形三边之间的关系 2、同班同学身高之间的关系。 3、公路上各种车辆的速度之间的关系 你能不能再举出一些存在着不等关系的例子呢? 二、不等关系是普遍存在的二、不等关系是普遍存在的 请同学们指出下列问题中哪两者之间存在着不等关系？ 1、今天的天气预报说：明天白天的最高温度为 13；白天的气温 t 与 13之间存在不等关系， t13 2、a是一个非负实数。a 的取值与零之间存在着不等关系，a0 3、右图是

3、限速 40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时， 应使汽车的速度v不超过 40km/h. 汽车的速度 v 与 40km/h 之间存在不等关系，v40你能不能用不等符号把上述关系表示出来呢？三、不等式三、不等式 1、 像这样，用不等号（,）表示不等关系的式子就叫不等式。40其中“”连结的不等式叫严格不等式。用“”或“”连结的不等式叫非严 格不等式。2、不等式的含义：不等式的含义是“”或“” 。等价于“不大于ababababa ” ，即和之中有一个成立，则成立。bababab 3、小常识：“不等号”是英国数学家哈里奥特（T.Harriot）于 1631 年开始使用的，但当 时并没有被数学界所

4、接受，直到 100 多年后，才逐渐成为标准的应用符号。 感悟体验感悟体验 1、2008 年 9 月 25 日 9 时，我国“神舟七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射 成功，实现了中华民族千年的又一飞天梦想，这是自 1970 年 4 月 4 日成功发射“东方红一 号”人造卫星以来，我国航天史上又一新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家。“东方红一号”与“神舟七号”部分参数的对比见下表，请把表格补充完整。 “东方红一号”与“神舟七号”部分参数对比表近地点/kms远地点/kms绕地球一周 t/min质量 m/kg“东方红一号” （a）43923841

5、14173“神舟七号” （b）200347908000a 与 b 进行比较abss分析：观察参数对比可以发现，这些不等式关系，从而说abssabssabttabmm明“神舟七号”飞船比“东方红一号”卫星在很多方面都有了较大的发展。答案：，abssabttabmm感悟体验感悟体验 2、设点 A 与平面的距离为，B 为平面上的任意一点，你能用不等式表示.dAB与 d 之间的不等关系吗？分析：.dAB感悟体验感悟体验 3 3、b 克糖水中有 a 克糖（ba0） ，若再添上 m 克糖（m0） ，未达到饱和的情况 下，糖水变甜了。你能根据这一事实提炼一个不等式吗？ 分析：四、典型例题四、典型例题 例例

6、1、某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送 180 吨支援物资的任务。已知该公司有 8 辆载重 6 吨的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 吨的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往 返的次数为 A 型卡车 4 次，B 型卡车 3 次。列出调配车辆的数学关系式。 分析：设需 A 型卡车 x 辆，B 型卡车 y 辆，依据题意应有如下不等关系： （1）出车辆数不得超过 10 辆； （2）运输物资不得少于 180 吨； （3）每种类型的车辆数受实际条件限制。10 2430180 8 4xy xy x y 我们还可以借助表格使问题明朗化，表格如下:A 型B 型限制车辆数xy10运输物资24

7、x30y180说明： 1、分析好各不等关系的内在联系，是用不等式（组）表示不等关系的前提。 2、在不等关系不容易提炼的情况下，可以借助表格使问题明朗化。 感悟体验感悟体验 4、某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生产的 要求，600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍，怎样写出满足上述所有不等关系的 不等式呢？ 分析：假设截得 500mm 的钢管根，截得 600mm 的钢管根。xy 根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不能超过 4000mm； （2）截得 600mm 的钢管的数量不能超过 500mm 钢管的数

8、量的 3 倍。 （3）截得两种钢管的数量都不能为负数。 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：ama bmb5006004000300xyxyxy 感悟体验感悟体验 5、某厂使用两种零件 A、B，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产量甲最 多 2500 件，月产量乙最多 1200 件，而组装一件甲需要 4 个 A，2 个 B；组装一件乙需要 6 个 A，8 个 B。某个月，该厂能用的 A 最多有 14000 个，B 最多有 12000 个。用不等式将甲、 乙两种产品产量之间的关系表示出来。 分析：设甲、乙两种产品产量分别为件，则, x y甲 x乙 y限制需要 A4x6y1

9、4000需要 B2x8y12000限制25001200即 02500 01200 4614000 2812000x y xy xy 02500 01200 237000 46000x y xy xy 例 2、如图，反映了某公司产品的销售收入万元与销售量吨的函数关系， yf xyx反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系， yg x试问：（1）当销售量为多少时，该公司赢利（收入大于成本） ； （2）当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）？ 分析：公司的盈亏问题，实质是销售收入与销售成本的问题， 找出销售量为多少时，该公司的销售收入与销售成本相等。 依据图象容易得到。答案：（1）当销售量

10、大于 a 吨时，即时，公司盈利，即；xa f xg x（2）当销售量小于 a 吨时，即时，公司亏损，即。0xa f xg x yf x yg xbaO/y 万元/x 吨说明：函数图象容易得到，特别是函数图象已经给出的时候，利用数形结合的思想可以简化 解题步骤。感悟体验感悟体验 6：反映了某种杂志的销售总收入与市场价格的函数关系，试问当市场( )yf xx价格为多少时，该杂志的销售总收入不低于 20 万元。分析：找出市场价格是多少时，该杂志的销售总收入为 20 万元，依据图象容易得到。答案：当时，该杂志的销售总收入不低于 20 万元。axb 说明：在数学意义上，不等关系体现在如下四个方面； （1

11、）像“神舟七号”的质量大于“东方红一号”的质量是常量与常量之间的不等关系； （2）像汽车的速度v不超过 40km/h 是变量与常量之间的不等关系；（3）像产品销量时，销售收入大于销售成本是变量与变量之间的不0ax f x g x等关系； （4） 像截得两种钢管的总长度不能超过 4000mm 是一组变量之间的不等关系。 五、课堂小结： 1不等关系是普遍存在的 学习研究不等式的意义在于客观现实中存在大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不 等关系的意义和价值。不等式中的量可以是常量也可以是变量 2用不等式（组）来表示不等关系 注意分析各不等关系之间的内在联系，必要时可以借助表格。 六、自我检测

12、1、 某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A 容器与 B 容器的容积相等。若前一个量用表示，后一个量用表示，则上述事实可表示为：ab _;_;_。2、 205 国道临沂段有限速 60km/h 的路标，指示司机在此路段行驶时，应使汽车的速度不v 超过 60km/h，写成不等式为_。 3、 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口酒杯，如图所示。盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是（ ）1234,h h h h（A） (B) (C ) (D) 214hhh123hhh32

13、4hhh241hhh4、 （2006 北京）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口Ob20x/元y/万元 yfxA、B、C 的机动车辆如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段123,x x xAB、BC、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车 辆数相等） ，则（ ） 。 123xxx132xxxC D 231xxx321xxx5、一个盒中红、白、黑三种球分别有个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，xyz至多是红球的，白球与黑球的个数之和至少为 55，试用不等式将题中的不等关系表示出来1 3（） 。*, ,x y zN6、有如图所

14、示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一 个矩形，从图形上确定这两个广告牌的面积大小关系，并将这种大小关系用含有字母的不等式表示出来。ab、(1) (2)7、预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和单价为 20 元的椅子，椅子数不能少于桌子数， 但不多于桌子数的 1.5 倍。请列出桌子、椅子数应满足的条件。8、如图，已知和的图象。根据以下条件分别写出、所满足的关系式：( )yf x( )yg xxy（1）；（2）。( )( )f xg x( )( )f xg xabbaOabcxy yf x yg x答案：1、 ababab 2、60/vkm h 3、A

15、4、C 分析：由已知图形知，由此得1321325055,2030,3520xxxxxx，故。23135,5xxxx132xxx5、3x yz2 y+z556、2211 22abab7、分析：设桌子、椅子数分别为、，则xy502020001.500xyxyxxy 8、分析：解答本题要注意两点：一是函数的定义域；二是图象的较点。由图象知的定义域为的定义域为当或时，( )yf x,a ( )yg x0,.axbxc；当时，。( )( )f xg xbxc( )( )f xg x七、课后作业 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地 板面积的比值应不小于 10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增加相等 的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。