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1、第十一章 概率网络体系总览随机事件的概率 互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率概率 考点目标定位 1.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率. 2.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率. 3.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率， 会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 复习方略指南 概率是新课程中新增加部分的主要内容之一.这一内容是在学习排列、组合等计数知识之 后学习的,主要内容为等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时 发生的概率.这一内
2、容从 2000 年被列入新课程高考的考试说明. 在 2000,2001,2002,2003,2004 这五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率解答题,并且这 五年的命题趋势是：从分值上看,从 10 分提高到 17 分,从题目的位置看,2000 年为第（17）题, 2001 年为第（18）题,2002 年为第（19）题,2003 年为第（20）题即题目的位置后移,2004 年 两题分值增加到 17 分.从概率在试卷中的分数比与课时比看,在试卷中的分数比 （12150=112.5）是在数学中课时比（约为 11330=130）的 2.4 倍.概率试题体现了考 试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突
3、出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导 思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如普法考试、串联并联系统、 计算机上网、产品合格率等,所以在概率复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.11.1 随机事件的概率知识梳理 1.随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 2.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件. 3.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.4.事件 A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率总接近于某个常数,nm在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P（A）.由定义可知 0P（A）1, 显然必然事件的概率是
4、 1,不可能事件的概率是 0. 5.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通 常此试验中的某一事件 A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此 试验由 n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P（A）=.n1 nm6.使用公式 P（A）=计算时,确定 m、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固nm定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗 漏. 点击双基 1.（2004 年全国,文
5、11）从 1，2，9 这九个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概率是A. B. C. D.95 94 2111 2110解析：基本事件总数为 C ，设抽取 3 个数,和为偶数为事件 A,则 A 事件数包括两类：抽3 9取 3 个数全为偶数,或抽取 3 数中 2 个奇数 1 个偶数,前者 C ,后者 C C .3 41 42 5A 中基本事件数为 C +C C .3 41 42 5符合要求的概率为= .3 92 51 43 4 CCCC 2111答案：C 2.（2004 年重庆,理 11）某校高三年级举行的一次演讲比赛共有 10 位同学参加,其中一班 有 3 位,二班有
6、2 位,其他班有 5 位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的 3 位同 学恰好被排在一起（指演讲序号相连） ，而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为A. B. C. D.101 201 401 1201解析：10 位同学总参赛次序 A.一班 3 位同学恰好排在一起,而二班的 2 位同学没有排10 10在一起的方法数为先将一班 3 人捆在一起 A ,与另外 5 人全排列 A ,二班 2 位同学不排在一3 36 6起,采用插空法 A ,即 A A A .2 73 36 62 7所求概率为= .10 102 76 63 3 AAAA 201答案：B 3.（2004 年江苏,9）将一颗质
7、地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数 1、2、3、4、5、6 的正方体玩具）先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是A. B. C. D.2165 21625 21631 21691解析：质地均匀的骰子先后抛掷 3 次,共有 666 种结果.3 次均不出现 6 点向上的掷法 有 555 种结果.由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的,所以不出现 6 点向上的概率为=,由对立事件概率公式,知 3 次至少出现一次 6 点向上的概率是 1= .666555 216125 216125 21691答案：D 4.一盒中装有 20 个大小相同的弹子球，其中红球 10 个，白球 6 个，黄球 4
8、 个，一小孩随手拿出 4 个，求至少有 3 个红球的概率为_.解析：恰有 3 个红球的概率 P1=.4 201 103 10 CCC32380有 4 个红球的概率 P2=.4 204 10 CC32314至少有 3 个红球的概率 P=P1+P2=.32394答案： 323945.在两个袋中各装有分别写着 0，1，2，3，4，5 的 6 张卡片.今从每个袋中任取一张卡 片，则取出的两张卡片上数字之和恰为 7 的概率为_.解析：P=.1 61 6CC491答案：91典例剖析 【例 1】用数字 1，2，3，4，5 组成五位数，求其中恰有 4 个相同数字的概率. 解：五位数共有 55个等可能的结果.现
9、在求五位数中恰有 4 个相同数字的结果数：4 个相同数字的取法有 C 种，另一个不同数字的取法有 C 种.而这取出的五个数字共可排出 C 个1 51 41 5不同的五位数，故恰有 4 个相同数字的五位数的结果有 C C C 个，所求概率1 51 41 5P=.51 51 41 5 5CCC 1254答：其中恰恰有 4 个相同数字的概率是.1254【例 2】 从男女生共 36 人的班中，选出 2 名代表，每人当选的机会均等.如果选得同性代表的概率是，求该班中男女生相差几名？21解：设男生有 x 名，则女生有（36x）人，选出的 2 名代表是同性的概率为 P=,2 362 -362CCCxx 21
10、即+=,3536) 1( xx 3536)35)(36( xx 21解得 x=15 或 21. 所以男女生相差 6 人. 【例 3】把 4 个不同的球任意投入 4 个不同的盒子内（每盒装球数不限） ，计算： （1）无空盒的概率； （2）恰有一个空盒的概率.解：4 个球任意投入 4 个不同的盒子内有 44种等可能的结果.（1）其中无空盒的结果有 A 种，所求概率4 4P=.44 4 4A 323答：无空盒的概率是.323（2）先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有 C 种，选两个球放入一盒有 C A 种，1 42 41 3其余两球放入两盒有 A 种.故恰有一个空盒的结果数为 C C A A ,所
11、求概率 P（A）=2 21 42 41 32 2=.42 21 32 41 4 4AACC 169答：恰有一个空盒的概率是.169深化拓展把 n+1 个不同的球投入 n 个不同的盒子（nN*）.求： （1）无空盒的概率；（2）恰有一空盒的概率.解：（1）.12 1AC nn nn n（2）.11 12 22 12 13 11A)ACCC(C nn nnn nnn【例 4】某人有 5 把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把 不重复地试开，问： （1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？ （2）三次内打开的概率是多少？ （3）如果 5 把内有 2 把房门钥匙，那么三次内打开的
12、概率是多少？解：5 把钥匙，逐把试开有 A 种等可能的结果.5 5（1）第三次打开房门的结果有 A 种，因此第三次打开房门的概率 P（A）=.4 45 54 4 AA 51（2）三次内打开房门的结果有 3A 种，因此，所求概率 P（A）=.4 45 54 4 AA3 53（3）方法一：因 5 把内有 2 把房门钥匙，故三次内打不开的结果有 A A 种，从而三次3 32 2内打开的结果有 A A A 种，所求概率 P（A）=.5 53 32 25 52 23 35 5 AAAA 109方法二：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有 C A A A 种；三次内1 21 31 23 3恰有
13、 2 次打开的结果有 A A 种.因此，三次内打开的结果有 C A A A +A A 种，所求概2 33 31 21 31 23 32 33 3率P（A）=.5 53 32 33 31 21 31 2 AAAAAAC 109特别提示1.在上例（1）中,读者如何解释下列两种解法的意义.P（A）=或 P（A）3 52 4 AA 51= .54 43 31 512.仿照 1 中,你能解例题中的（2）吗?闯关训练 夯实基础夯实基础 1.从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中，任取 2 张，这 2 张上的字母恰好按字母顺 序相邻的概率为A. B. C. D.51 52 103 107解析：P=
14、.2 5C4 52答案：B 2.（2004 年湖北模拟题）甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有 12 个不同的题目,其中选择 题 8 个,判断题 4 个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是A. B. C. D.256 2521 338 3325解析：甲、乙二人依次抽一题有 CC种方法,1 121 11而甲抽到判断题,乙抽到选择题的方法有 C C 种.1 41 8P=.1 111 121 81 4 CCCC 338答案：C 3.（2004 年全国,理 11）从数字 1、2、3、4、5 中，随机抽取 3 个数字（允许重复） 组成一个三位数，其各位数字之和等于 9 的概率为A.
15、 B. C. D.12513 12516 12518 12519解析：从数字 1、2、3、4、5 中，允许重复地随机抽取 3 个数字，这三个数字和为 9 的 情况为 5、2、2；5、3、1；4、3、2；4、4、1；3、3、3.概率为=.32 33 33 32 3 51CAAC 12519答案：D 4.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文 5 篇和非试点学校的论文 3 篇.若任 意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是_.（结果用分数表 示）解析：总的排法有 A 种.8 8最先和最后排试点学校的排法有 A A 种.2 56 6概率为=.8 86 62 5 AAA 145答案： 1455.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个， 甲、乙二人依次各抽一题. （1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 分析：（1）是等可能性事件，求基本事件总数和 A 包含的基本事件数即可.（2）分类或 间接法，先求出对立事件的概率.解
