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1、第九节 函数单调性与凸性的判别方法本节要点本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函数的单调性及函数的凹凸性.一、函数单调性的判别法二、函数的凹凸性的判别法一、函数单调性的判别法1.问题的提出设函数 如果函数在 上单调增加，则曲线的图形是一条沿 轴正向逐渐上升的曲线，因而曲线上各点处的切线斜率非负，即 xyoab如果函数 在 上单调减少，则曲线的图形是一条沿 轴正向逐下降的曲线，因而曲线上各点处的切线斜率非正, 即由此可见，函数的单调性与其导函数的符号有密切的关系 .xyoab若可导函数 在区间 上单调增加（减少），则对任意的 有由导数的定义及极限的保号性，我们可证明:证 设 在 上单调增
2、加，则当 时，当 时，反之，我们有函数单调性的判别法设若 有 则 在 上 单调增加；若 有 则 在 上单调减少.证 仅证 则由拉格朗日中值定理，得又因： 故由此说明函数是单调增加的.例1 因对 所以 在区间上是单调增加的。 例2 因对 所以 在区间上是单调增加的。 因对 所以 在区间上也是单调增加的。 故而 在 上是单调增加的。 此例为一个单调的函数，其导函数可能有若干个零点. 作为一般结论，我们有定理 若函数 在区间 上可导， 且在 的任何一个有限区间内 仅有有限个零点，则是单调增加（单调减少）的.例3 设 则所以，函数 在任何一个有限区间仅有有限个驻点，由上面的定理知函数是单调上升的.水平
3、切线例3 讨论函数 的单调性.解 因 所以当 即是单调减少的；当 即函数是单调增加的. 可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表例4 求函数 的单调区间。解 函数 的定义域为 并且在区间内连续. 的导数为以导数为0及导数不存在的点为分界点将整个区间分为将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下：单调下降单调上升结合上面的两个例子，我们得到求函数单调区间的一般方法：确定函数的定义域:求出函数的一阶导函数，并求出函数的驻点及不可导点:根据驻点和导数不存在的点，划分区间，注意到，导函数在每一个区间内的符号不会改变，从而有确定的单调性.利用单调性证明不等式。例5 证明当 时，有证 令 则所以函数 在
4、区间 中是单调增加的，因而当 时，有 即问题 证明当 时有：方法 构造函数 且函数在 中连续，可导；验证 从而函数 在给定的区间上单调增加；由此得到：当 时，有即例6 证明 证 令所以 且所以 在 上单调增加，从而由此即得例7 证明 证 令所以 且所以 在 上单调增加，从而二、函数的凸性及判别法凸性是函数的一种重要性质，具有这种性质的函数在近代分析中占有重要地位.考察右图中的曲线，注意到曲线是向下凸的，即任取曲线上两点，那么连接这两点的弦总位于这两点间的弧段的上方。即设点 与点是曲线上任意两点，那么介于 之间的任意一点 总可表示为因 所在的直线方程为把 代入上式，得因此下凸的曲线可用下面函数的
5、不等式来刻画:由此我们引入定义:定义 设函数 在区间 中有定义，如果对任意的及任意的 都有此时函数 在区间 内的图形是下凸的（如下图），则称函数 在区间 内是凸的；如果对任意的 及任意的 都有此时函数 在区间 内的图形是上凸的（如下图），则称函数 在区间 内是凹的；如果函数 的图形在经过点 时改变了上下凸性，则称点 是 的一个拐点.以上定义给出了关于函数凹凸性的概念函数凸性判别法 设 且导函数 在内单调增加（减少），那么函数 在 内是凸（凹）的。证 设 在 内是单调增加的，任取 且令 由微分中值公式：得于是有由 即代入式，得由条件所设，知 所以即函数在区间 内是凸的。更进一步地，如果函数 在区
6、间 有二阶导数，则我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性。即有如下的:定理 如果 则函数 在 内是凸的；如果 则函数 在区间 内是凹的.例9 对函数 因 由判别法知函数 在定义域内是凸函数；再对函数 因 知函数在定义域内是凹函数。例10 设函数 求函数的凹凸区间。解 当 时,当 时 而当 时，二阶导数不存在，从而将函数 的定义域划分成三个区间:将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下：当 是凹函数；当 是凸函数；当 是凸函数。从而点 是曲线的拐点，而 不是曲线的拐点.函数的图形如下图所示.利用函数的凹凸性可以证明某些不等式。例11 设 是任意两个正数， 证明不等式并且不等式成为等
7、式的充分必要条件是证 由例9知函数 在整个定义域内是凹函数，故对 时，由凹函数的定义 有而当 时，不等式成为等式. 即有不等式两端同取以 为底的指数，则有并且当且仅当 时等式成立.注 在上式中，若取 则是熟悉的不等式：例12 设 是任意两个正数，证明不等式证 设 ，所以 在 是凸函数，故取 ，则所以即当 时，等号成立。利用单调性、凸性绘制函数的大致图形具体做法：1.根据 得出导数为0以及导数不存在的点；2.根据各分段上的符号判断单调性和凸性（列表）；3.绘制函数图形。例13 画出 的图形。 解 当 时 当 时， 时，一阶、二阶导数不存在，从而将函数 的定义域划分成四个区间:将函数的一阶、二阶导数符号及凹凸性按四个区间 列表如下：图形经过下列点：
