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1、例1 在圆柱坐标中,一点的位置由 定出,求该点在:(1)直角坐标中的坐标;(2)球坐标中的坐标. 解: (1)由直角坐标系中的点与圆柱坐标系中的点的关系有:(2)由圆柱坐标系中的点与球面坐标系中的点的关系有:故该点的直角坐标为故该点的球坐标为补例2 现有三个矢量 为(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?分析(1) 如果这个矢量的旋度为零,这个矢量就可以用一个标量函数的梯度来表示.(2)求出这些矢量的源分布.如果这个矢量的散为零,这个矢量就可以用一个矢量函数的旋度来表示.分析(2)通量源(散度源)的体分布涡旋源(旋度源)的面分布解:(1)在球坐标系中故
2、矢量 既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢量函数的旋度表示在圆柱坐标系中故矢量 可以由一个标量函数的梯度表示在直角坐标系中故矢量 可以由一个矢量函数的旋度表示(2)这些矢量的源分布为例3 求标量函数 的梯度及 在一个指定方向的方向导数,此方向由单位矢量 定出:求(2,3,1)点的方向导数值.解:故沿方向 的方向导数为点(2,3,1)处沿 的方向导数值为例4 一径向矢量场在圆柱坐标有 ,在球面坐标中有,如果 ,那么函数 会有什么特点呢?解:在圆柱坐标系中,由 和 有则在球面坐标系中,由 和 有则例5 证明：（1） ；（2） ；（3） ，解：（1）则其中 ， 为一常矢量。（2）（3）补充： 直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系 例6 图中所示导体中电位函数与 及 无关(取圆柱坐标系),并且电位函数满足 ,已给定 和 ,求电位函数的表达式以及电场强度解:(1)在圆柱坐标系中由有积分之得:结合边界条件 和 得所以(2)由 以及电场强度与电位的函数关系 得
