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1、第一章 函数预备知识函数的概念具有某种特性的函数初等函数两个常用不等式高等数学是研究自然现象数量关系规律的学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程.WHATS MATHEMATICS前言预备知 识分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、 集合 1. 定义及表示法定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元
2、素的集合称为空集 , 记作 . ( 或) .注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 与负数的集 .表 示 法 ： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例: 有限集合自然数集(2) 描述法： x 所具有的特征例: 整数集合或有理数集p 与 q 互质实数集合x 为有理数或无理数开区间闭区间无限区间点的 邻域其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半 开 区 间去心 邻域左 邻域 :右 邻域 :是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及 运算定义2 .则称 A若且则称 A 与 B 相等,例如 ,显然有下列关系 :, ,若设有集合
3、记作记作必有定义 3 . 给定两个集 合 A, B, 并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或二、 映射1. 映射的概念 某校学生的集合学号的集合 按一定规则查号某班学生的集合某教室座位 的集合 按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1. 引 例 2 .引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影机动 目录 上页 下页 返回 结束 定 义 4 .设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f , 使得有唯一确定的与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作元素 x 称为元素 y 在映射
4、f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;Y 的子集称为 f 的 值域 .注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记对映射若, 则称 f 为满射; 若有 则称 f 为单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 引例2, 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2引例2X (数集 或点集 ) 说 明 :在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)机动 目录 上页 下页 返回 结束 f 称为X 上的泛函X ( ) X f 称
5、为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 定义域第一节 函数的概念 定义1. 设数集则称映射为定义在D 上的函数 ,记为f ( D ) 称为值域 函数图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量一.函数的概念(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值 定义域 对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.定义域值域又如, 绝对值函数定义域值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 已知 函数求 及解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与
6、练习1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? 相同相同机动 目录 上页 下页 返回 结束 二.函数的分段表示,隐式表示与参数表示1.函数的分段表示设 是两个互不相交的实数集合, 和 是两个不同的表达式,则称定义在集合 上的函数为分段表示的函数例1 符号函数例2 取整函数表示不超过 的最大整数2.函数的隐式表示函数的隐式表示,是指通过一个二元方程来确定变量 与 之间的函数关系的一种表示方式,这样的函数称为隐函数.例:可确定显函数可确定 是 的函数,但此隐函数不能显化.3.函数的参数表示在表示变量 与 的函数关系时,我们常常要引入第三个变量(例如参数 ),通过建立 与, 与 之间的函数关系,间接地
7、确定 与之间的函数关系,这类函数也称为参变量函数,这种方法称为函数的参数表示研究抛射物体的运动问题,如果空气阻力 不计,则抛射体的运动轨迹可表示为:三.极坐标为极点为极轴表示从 到 的角度 称为点 的极径, 称为点 的极角.则有序数组 称为点 的极坐标.特别地:当点 在极点时,它的极坐标可以取任意值.例:求圆心是 半径为 的圆的极坐标方程.直角坐标与极坐标的关系:例:化下列极坐标方程为直角坐标方程常用的一些曲线方程及图形见P5(1) 复合 映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 手电筒D引例. 复合映射 四.复合函数与反函数定 义 .则当由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复设有映射链记作合映
8、射 ,时,或机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.(2) 复合 函数 则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 :函数但函数链不能构成复合函数 .可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数:函数可看成哪几个简单函数的复合?例1.设 函数求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习(3) 逆映射的定义 定义: 若映射为单射, 则存在一新映射使习惯
9、上 ,的逆映射记成例如, 映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 反函数的概念及性质若函数为单射, 则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增且也单调递增 性质: 2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线对称 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数第二节.具有某种特性 的函数设函数且有区间 (1) 有界性 使称 使称 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性
10、为有界函数. 在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界.称 为有上界称 为有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 奇 偶性 且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当必有 例如,偶函数又 如 , 奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 周期 性且则称为周期函数 ,若称 T 为周期( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如,
11、 常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节. 初等 函数(1) 基本初等函数常,幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 . ( 自学, P11 P13 )3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什 么 ?以上各函数都是初等函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函 数举例:符号函数当 x 0当 x = 0 当 x 0取整函数 当机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 两个常用不等式一.三角不等式二.均值不等式内 容 小 结1. 集合及映射的概念 定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构2. 函数的定义及函数的二要素5.两个常用不等式且练 习 题证明证: 令则由消去得时其中a, b, c 为常数, 且为奇函数 .为奇函数 .1. 设2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?不是是不是提示: (2)3 . 设求及其定义域 .4. 已知, 求5. 设求由得3. 解:4 . 已 知, 求解:5. 设求解:
