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1、第六章 系统稳态误差及稳定性分析第二节 控制系统的稳定性判据2014.10.29反馈控制的基本任务，就是维持被控对象的输出量以一定的准 确性跟随控制量（给定值）。对稳定系统来说，输入为零时， 输出也将为零。系统能够正常工作的条件，首先是被控的输出量不要因受扰动 而越来越偏离其工作点。1. 系统稳定性的概念若系统由于输入量所引起的瞬态响应，在外加信号消失后，随时 间的推移而衰减并趋于零，则称该系统为稳定系统。 不稳定的平衡点系统的稳定性，是系统本身的固有特性。只与系统的结构参 数有关，而与输入量无关稳定性分析示意图 稳定的平衡点系统在初始条件的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰 减并趋于零，称
2、为稳定2. 系统稳定的条件设系统的传递函数为 ,方程 B(s)=0 称为系统的特征方程 系统稳定的充要条件为：系统特征方程的全部根的实部为负。若系统特征根中有部分为零或者为纯虚数，则系统在输入量撤销 后，随时间的推移而趋于一常数或者等幅振荡，称为临界稳定。 从工程意义上来说，是不稳定的。系统不稳定产生的后果实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者 受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当 输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分 方程不再适用。 劳斯判据3. 系统稳定性的判据根据系统的特征方程可判断系统的稳定性。那么如何判定呢？根据系统特征方程中系数与根的关
3、系，间接判断出特征方程的 根的情况。设系统的特征方程为则系统稳定的必要条件为：特征方程B(s)=0的各项系数bi的符号均相同且不等于零。系统稳定的必要条件劳斯在此基础上提出了系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件为：劳斯数列表中第一列各项的符号均为 正且不等于零。若有负号存在，则发生符号的变化次数，就是不稳定根的个数。如则劳斯数列表为smb0b2b4b6 sm-1b1b3b5b7 sm-2C1C2C3C4 sm-3D1D2D3D4 s0其中两个特殊情况：a. 劳斯数列表中任一行第一项为零，其余各项不为零或者部 分不为零解决方法：用一任意小的正数代替零的那一项，然后继续计 算。若上下项的符号不变，
4、且第一列所有项的符号为正，则方 程有共轭虚根，系统属临界稳定。b. 劳斯数列表中任一行全为零 解决方法：利用全为零的这一行的上一行的各项作系数组成一个多项式方 程（最高阶次为该行的相应阶次，相邻项的阶次相差为2）；对辅助方程取导数得一新方程；以新方程的系数代替全为零的那一行。例1已知系统的特征方程为 B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0解用劳斯判据判断系统的稳定性。s41175 s38160 s2 C1 = C2 =0 s1 D1 =00 s0 E1 =00劳斯数列表为1515 13.313.35 55 5例2已知系统特征方程为s3-3s+2=0。判断系统的稳定性，若不稳定，试确定
5、不稳定根的个数。解系统不稳定s31-30 s2020 s1C100s0D1=200故系统有两个不稳定根。例3+-Xi(s )Xo(s)+解系统传递函数为已知=0.2,n=86.6，确定K取何值时系统才能稳定。=s3+34.6s2+7500s+7500Ks3+34.6s2+7500s+7500K所以，劳斯数列表为 s3175000 s234.67500K0 s1C100s07500K00K034.6x7500-7500K0即K0Dm0D20Dm-10Dm-30Dm-50例5已知系统传递函数为解用胡尔维茨判据确定系统稳定时的K。3K012003K特征方程的系数组成的行列式为D1=3D2=6-K0D
6、3=6K-K2000的条件，则只计算半数的行列式，便可检查系统是否稳定。这半数行列式的选取是：Dm-10，Dm-30，Dm-50，m 特征方程的最高阶次例1已知系统的特征方程为B(s) =s4+Ks3+s2+s+1=0求系统稳定时K的取值范围B(s) =s4+Ks3+s2+s+1=0 解（1）根据胡尔维茨判据的条件，要求K0Dm-10，Dm-30（2）当Dk0，则只要求D1和D3大于零，即D1=b1=K0D3=b1b30b0b2b40b1b3K101110K1=-(K-1)2+K0显然，不管K0的任何值，上式均不成立，故此系统是不稳定的三、关于时域判据的小结（1）系统型号越高，则系统越难稳定例
7、如，对于一个 II 型系统来说，由于其开环传递函数含有两个积分环节，比如据此得其特征方程如果系统是单位负反馈系统，则其闭环传递函数为串入PD环节，相当于增加系统阻尼（2）开环增益越大，则系统的稳定性就越差设单位负反馈的开环传递函数由三个惯性环节组成，即由此得其闭环传递函数特征方程为即根据胡尔维茨判据，若系统稳定，则必须显然，开环增益K越大，越难满足稳定条件现令系统临界稳定时的开环增益为Kp，则有由此得当T1=T2=T3时，Kp为最小，即Kp=8。如果T1T2及T1T3，允许的Kp就比较大。例如T2=T3，T1=50T2，则Kp104。四、改善系统品质的方法控制系统的动态特性与稳态特性总是存在着
8、矛盾。例如，从减少稳态误差考虑，是希望把系统的开环增益调得大些；但是，从改善动态特性的角度来看，则希望开环增益小一些，从而使系统稳态性提高及超调量减少。通常，改善系统品质的措施包括：串联校正、反馈校正、复合校正本节介绍时域范围内的串联校正（一） 时域范围内的串联校正的两个基本原理串联校正，就是指在原来的回路中接入校正环节以改变信号在回路中的传递情况，从而达到改善品质的目的。(s)Xi(s )Gc(s)Xo(s)+-G(s)接入校正环节后的闭环传递函数为适当选取Gc(s)，就能获得满足要求的系统品质1. 错开原理如果开环传递函数中有一个惯性环节的时间常数相对于其它时间常数大得多，亦即时间常数错开
9、，则系统允许有较大的开环增益，仍然保持闭环系统的稳定性。从物理意义上来说，时间常数很大的惯性环节，相当于一 个低通滤波器。如果系统其它环节的时间常数很小，它们形成的振荡是高 频振荡。2. 对消原理令校正环节的分子为比例微分形式，并令其时间常数和系统原来的开环传递函数中某一惯性环节的时间常数相等，从而对消该惯性环节，代之以一个时间常数更大或更小的一阶惯性环节，从而使时间常数错开（二） 两种常用的串联校正方法1. 不含积分环节的校正Xi(s)Xo(s)+-对象 G(s)Xi(s )Xo(s)+-对象 G(s)校正环节Gc(s)其中T1T2T3Ta=T1，Tb （T1+T2+T3+）Tbs+1Tbs
10、Tb很大Xi(s )Xo(s)+-对象 G(s)校正环节Gc(s)其中系统由0型变为 I 型，稳态特性改善。但是，由于是以更大的时间常数Tb代替原来最大的时间常数T1，所以这种校正是以牺牲系统的快速性作为代价，来换取稳定性的提高和稳态特性的改善。下图是由放大电路组成的PI调节器，求G(s)ui(t)uo (t)RiR2aR1CUi(s )Uo (s)RiZmaZm=(R2+1/cs)R1上述校正环节可用下面的PI调节器来实现第四 章2. 含积分环节的校正Xi(s )Xo(s)+-对象 G(s)校正环节Gc(s)一般随动系统属这种情况。如果目的是提高系统的快速性 和稳定性，可采用PD调节器作校正
11、环节uiuoRiR1iifaR2Cub第四章 PD调节器TM=T1，T取得很小系统的稳定性和快速性均提高uiuoRiR1iifaR2C ubR33. 开环增益的选择Xi(s )Xo(s)+-对象 G(s)校正环节Gc(s)其中则系统的闭环特征方程为展开后，取最后三项，得确定后，开环增益K也就确定。但该K是忽略了二阶以上的项得到 的，要取得大一些。如果0.3，则系统很难稳 定下来需要指出的是，以上分析只供实际调试时参考，因为很多次要因素被忽略。而且被调试对象的参数往往不容易测得准确，只有在实际调试中才能更好地认识被调对象的特性，从而进一步调好调节器的各个参数。思考题：磨削温度测量的校正下图是磨削温度测量系统一个热电偶系统和记录系统所组成的串联系统典型的磨削温度响应曲线作业已知单位负反馈系统的开环传递函数为求系统稳定时K值的范围练习题已知 B(s)=2s4+s3+3s2+5s+10=0，试用胡氏判据确定系统 的稳定性。提示D2=b1b3 b0b2=15 23= -7所以系统不稳定
