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1、第 二 章随机变量及其分布(一 )一、随机变量二、离散型随机变量及其分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量及其分布五、随机变量的函数的分布第一 讲为了全面研究随机试验的结果，数学处理上的方便，机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章 要将随机试验的结果数量化。随机变量对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。例1、掷一枚硬币，X = X(e) =1, e = H0, e = T例3.测量某灯泡的寿命 ,令例2 、在n 张已编号的考签中任抽一张，观察号码，X = “抽到考签的号码”定义：设E是随机试验，它的样本空间为则称实值单值函数 X=X(e) 为随机变量。 由于X的取值根据试验结果而
2、定，而试验各结果出现有 一定的概率，所以X 取各值也有一定的概率。随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2. 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的概率；而普通函数却没有。随机变量的分类：随机变量 非离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量其它随机变量函数和普通函数的区别：1. 定义域不同机动 目录 上页 下页 返回 结束 离散型随机变量及其分布 第二章 一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量第二讲机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1.若随机变量X的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称X 是离散型随机变量。定义2.设
3、离散型随机变量的所有可能取值为,其中事件的概率：一、离散型随机变量的 定义eg: 抛骰子，X=1,2,3,4,5,6;火车站候车人数，X=0,1,2, 称为X的概率分布或分布律。机动 目录 上页 下页 返回 结束 分布律也可用如下表格的形式表示：性 质 ：例1、袋中有2个白球和3个黑球,每次从中任取1个,直到取到白球为止，X取球次数，求(1)无放回，(2)有放回情况下X的分布律。 解:(1)1234机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号 灯，每盏信号灯以概率允许汽车通过,变量 表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）, 求的分布律。解 由题
4、意可知的分布律为，则机动 目录 上页 下页 返回 结束 将带入可得的分布律为34页例2：几何分布机动 目录 上页 下页 返回 结束 . (01)分布 定义1.如果随机变量的分布律为则称服从参数为的(01)分布。二、常用的离散型随机变量及其 分布（0 1）分布的分布律也可写成注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从(0 1)分布的随机变量。机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.伯努利概型 n重独立试验 在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各 结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。 伯努利概型设随机试验E只有两种可能结果，且 ,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验为
5、n重伯努利试验，或称n重伯努利概型。. .二项二项 分布分布机动 目录 上页 下页 返回 结束 n重伯努利试验中, X 事件A发生的次数所以注：定义2.如果随机变量的分布律为则称服从参数为其中 记为2、二项分布的二项分布,特别,当时,二项分布为这就是（01）分布，常记为某班有30名同学参加外语考试，每人及格的概率解：X0 1 2 30例 1 、例 2 、设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中 随机抽取10件，每次取一件，X10件产品中的次品数，(1)有放回的抽取，求 X的分布律；(2)无放回的抽取，求 X的分布律；(3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。解：(1) A
6、 取得次品， P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,5(3)注：明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有 告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，可以当作放回抽样。对于固定n 及 p，当k 增加时, 概 率 P( X = k ) 先是随之增加直至达到 最大值 , 随后单调减少.当(n+1) p 不为整数时，二项概率 P ( X = k ) 在 k =(n+1) p达到最大 值；n=10, p = 0.7kPk3、二项分布的图形 特点:当(n+1) p 为整数时，二项概率P ( X= k ) 在 k = (n +1) p 和 k = (n+1) p -1处达到最大值.n=1
7、3, p = 0.5Pkk0例 3 .某人购买彩票, 设每次买一张, 中奖的概率为0.01，共买800次，求他至少中奖两次的概率。解: 把每次购买彩票看成一次随机试验设中奖的次数为 ，则即由于直接计算比较麻烦, 给出近似计算公式适用条件:泊松 定理设 是一常数 ,是正整数 , 若则对任一固定的非负整数 ,有(二项分布的泊松近似).泊松 分布 若随机变量 X 的分布律称服从参数为的泊松分布,记为其中 是常数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 n 很大，p 很小时，泊松定理表明： 泊松分布是二项分布的极限分布，参数 = n p 的泊松分布二项分布就可近似看成是机动 目录 上页 下页 返回
8、结束 泊松分布的图形特点：机动 目录 上页 下页 返回 结束 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概 率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科 学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要 的地位。泊松分布的应用 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客数 生物存活的个数 放射的粒子数机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业5机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机变量的分布函数 第二章 一、分布函数的概念二、分布函数的性质第三 讲三、离散型分布函数的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束 为X 的分布函数。设 X 是一个随机变量，定义1的函数值的含义：上的概率.分布函数一、分布函数
9、的 概念是任意实数，则称函数表示 X 落在可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。(1)(2)同理，还可以写出机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、分布函数的 性质 单调不减性： 右连续性： ，且，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。解:例 1. 已知随机变量X 的分布律为求分布函数当 时, 当 时, 当 时, 所以，例2、 向0,1区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标.特别,令解：长度成正比，求 X的分布函数.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间当 时,当 时,当 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续型随机变量及其分布 第二章 一、连续
10、型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量第四讲机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、连续型随机变量的 定义定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负，使对任意实数则称 X为连续型随机变量，称为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。函数1. 概率密 度机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.概率密度的性质 非负性 由于(3) f (x)在点x 处连续，则f (x)的意义： 随机变量 X在点x 处的密集程度。3、连续性随机变量的 特点 (1)(2)(3) F(x)连续。f (x)x例 1 、设连续型随机变量 X的概率密度为求 A的值，例2、求常数 a,b,及概率密度函数
11、 f (x)。例3、，求A , B 及 f (x)。二、常用的连续型随机变量定义、 若 连续型随机变量 X 的概率密度为：则称 X 服从 a, b上的均匀分布，X U a, b1、均匀分布记作：分布函数为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为由此可得，如果随机变量 X 服从区间上的均匀分布，则随机变量 X 在区间上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。均匀分布的概率 背景机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1、 设随机变量X 服从1，6上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率。解 因为当时，方程有实根，故所求概率为从而机动 目录 上页 下页 返回 结束
12、2、 指数分布定义、若随机变量X 的概率密度为：指数分布。为常数，则称随机变量X服从参数为其中的分布函数：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟)X 服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以 Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率解 Y是离散型，其中现在 X 的概率密度为3、正态 分布 定义1：若随机变量 X 的概率密度函数为则称X 服从参数为的正态分布或高斯分布，f (x)的图形：特点：(52 页） (1) f (x)关于(2) f (x)在(3
13、)定义 2、称 X 服从标准正态分布，性质：思考：怎样证明定理： 若，则证 明 ：求的分布函数若例1、解：= 0.8413.= 0.0668.例 2 .某电子元件的寿命服从求: 1) 电子元件寿命在250个小时以上的概率2) 求 k , 使元件寿命在 之间的概率为0.9解: 设 X = “电子元件的寿命”2) 由题意,查表，机动 目录 上页 下页 返回 结束 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头 机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN (170,62),问 车门高度应如何确定? 解 设车门高度为h cm,按设计要求即0.99故查表得例 3 、因为分布函数非减随机变量的函数的分布 第二章 一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布第 五 讲一、离散型随机变量函数的分布例1. 设随机变量 的分布律见下表 , 试求随机变量解: 的分布律。二、连续型随机变量函数的分布解：例2、设 X 的概率密度为求 Y = 2 X+8 的概率密度。设Y 的分布函数为例：解: 由题意可知的取值范围为课堂练习 ：法1、分布函数法法2、定理
