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1、第第 10 讲：直线与圆锥曲线的位置关系讲：直线与圆锥曲线的位置关系【知识整合知识整合】 1. 直线与椭圆的关系 （1）直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆有三种位置关系：相交、相切、相离 将直线方程与椭圆的方程联立消去一个未知数，可得到一个一元二次方程，若方程有两个不等的解（） ，则直线与椭圆相交；若方程有两个相等的解（） ，则直线与椭00 圆相切；若方程无解（） ，则直线与椭圆相离。0 （2）椭圆的切线椭圆上一点处的切线方程为。)0( 12222 baby ax),(00yxP120 20byy axx直线与椭圆相切的条件为。0CByAx12222 by ax22222CbBaA过椭圆外一点引
2、椭圆的两条切线，切点分别为，则直线（切点),(00yxP21,PP21PP弦所在的直线）的方程为。120 20byy axx（3）直线与椭圆相交形成的弦长问题设直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，则),(),(222111yxPyxP21PPk2 212 2121)()(|yyxxPP)(1 )(221212 21xxyyxx)1 ()(22 21kxx即2 21211|kxxPP同理可得)0(11|22121kkyyPP（4）弦的中点问题 把直线的方程与椭圆的方程联立起来消去，可导出一个一元二次方程y，用根与系数的关系可求出弦的中点的横坐标，再把它代入直线的方程，02qpxx就可求出弦的中点的
3、纵坐标。设直线 与椭圆相交于 A，B 两点，坐标分别为l)0( 12222 baby ax，线段 AB 的中点为，则),(),(2211yxyx),(00yxM 1122 2 22 222 1 22 1by axby ax，得，22 22 1 22 22 1 axx byy020200 222121 222121 22 yaxb yx ab yyxx ab xxyy所以直线 AB 的斜率为。0202yaxbk2. 直线与抛物线的关系 （1）直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相交，相切，相离。 相交：直线与抛物线交于两个不同点或直线与抛物线的轴平行。 相切：直线与抛物线有且只有
4、一个公共点，且直线与抛物线的对称轴不平行 相离：直线与抛物线无公共点。 （2）直线与抛物线的位置关系的判断 把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组。 方程组有一组解直线与抛物线相交或相切（1 个公共点） ； 方程组有二组解直线与抛物线相交（2 个公共点） ； 方程组无解直线与抛物线相离。 （3）抛物线的切线抛物线上一点处的切线方程为)0(22ppxy),(00yxM)(00xxpyy直线与抛物线相切的条件是0CByAx)0(22ppxy。ACpB22过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦所在直)0(22ppxy),(00yxM线的方程为。)(00xxpyy（4）直线与抛物线相交形成
5、的弦的有关问题设线段 AB 为抛物线的弦，A，B 的坐标为，直线)0(22ppxy),(),(2211yxyxAB 的斜率为，弦 AB 的中点为，则k),(00yxM)0(11|1|2212 21kkyykxxAB02121212 yp yyp xxyyk3. 直线与双曲线的关系 （1）直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线有三种位置关系：相交、相切，相离。 相交：直线与双曲线有两个公共点或有一个公共点（直线与渐近线平行） 。 相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行与双曲线的渐近线。 相离：直线与双曲线无公共点。 （2）把直线的方程和双曲线的方程联立起来得到一个方程组。 方程组有一组
6、解直线与双曲线相交或相切（1 个公共点） ； 方程组有二组解直线与双曲线相交（2 个公共点，交于一支或二支） ； 方程组无解直线与双曲线相离。 （3）双曲线的切线双曲线上一点处的切线的方程为；)0, 0( 12222 baby ax),(00yxP120 20byy axx设直线与双曲线与相切的条件分别是0CByAx12222 by ax12222 bx ay；2222222222,CbAaBCbBaA过双曲线外一点引双曲线的两条切线，切点弦的方程为12222 by ax),(00yxP。120 20byy axx（4）直线与双曲线相交形成的弦长设直线与双曲线相交于两点，则bkxy12222
7、by ax),(),(222111yxPyxP2 212 2121)()(|yyxxPP2 211|kxx)0(11|221kkyy（5）与弦的中点有关的问题弦所在直线的斜率：设双曲线上两点 A，B 连线的中点为，双曲线的方程为),(00yxP，则此弦所在直线的斜率为。)0, 0( 12222 baby ax0202yaxbk 【典例精析典例精析】1. 若点 M 在椭圆上，是它的两个焦点，则点 M 的坐标 1204522 yx21,FF21MFMF 。2. 过抛物线的焦点作直线 ， 的倾斜角是， 与抛物线的交点的坐标xy22ll12030 或l是 。3. 设 A，B 是双曲线上的两点，线段 A
8、B 的中点的坐标是，则直线 AB122 yx)2 ,21(的斜率是 。4. 过点作直线 与椭圆：（1）相切；（2）相交；（3）相离。)2 , 0(Pl14) 1(:22 yxC求 的斜率的取值范围。lk5. 已知椭圆和椭圆外一点，过这点任意引直线与椭圆交于 A，B 两点，12122 yx)2 , 0(求弦 AB 的中点 P 的轨迹方程。6. 直线和双曲线相交，交点为 A，B，当为何值时，以弦 AB 为1 kxy1322 yxk直径的圆经过坐标原点。7. 抛物线的动弦 AB 和圆相切，过 A，B 两点作抛物线的两条切线yx 2122 yxQA，QB，求直线 QA，QB 交点的轨迹方程（只要求求出
9、方程）8. 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线截直线所得的弦 AB 的长为，求抛x12 xy15物线的方程。9. 直线 被双曲线截得的弦长为 4，且 的斜率为 2，求直线 的方程。l12322 yxll10. 已知直线与双曲线交于 A，B 两点，O 是坐标原点，求032 yx122 yx的面积。OAB【重点题型强化重点题型强化】1. 椭圆的中心在原点，对称轴为轴，以椭圆的短轴的一个顶点 B 与两个焦点为顶x21,FF点的三角形的周长是，且，则椭圆的长轴长与短轴长的和是 3483021FBF。2. 抛物线与圆交于 A，B 两点，F 是抛物线的焦点，的夹角的xy 2222 yxFBFA,正切值是 。3
10、. 设直线与双曲线相交于 A，B 两点，且，则双曲线的xy )0( 122 2kkyx4|AB方程为 。4. 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆相交于 P 和1 xyQ 两点，且，求椭圆的方程。OQOP 210|PQ5. 已知椭圆，过点引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方141622 yx) 1 , 2(P程。6. 求渐近线为且与直线相切的双曲线的方程。02 yx0865 yx7. 过点的直线 交抛物线于 A，B 两点，O 是原点，以 OA、OB)0 , 2(Pl)0(42aayx为邻边作平行四边形 OAMB，求顶点 M 的轨迹方程。8. 过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，求证：抛物线在这两点的切线互相垂直。9. 已知抛物线上总有关于直线对称的不同点，求的取值范)0( 12aaxy0 yxa围。10. 已知双曲线的方程为，AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为弦12222 by axAB 的中点，记 AB，OM 的斜率分别为，求证：。OMABkk,22abkkOMAB
