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1、*2 . 2 . 极限极限温州大学教育科学学院数学教研室温州大学教育科学学院数学教研室*2.2 2.2 极限极限本节要求读者在复习 中学数列极限基础上掌握掌握: :理解理解: : 无穷小和无穷大; 了解了解: : 初等函数的连续性;极限概念的应用.函数极限的直观意义和运算法则; 两个重要极限两个重要极限; ; 2.2 极限*2. 2. 1 2. 2. 1 极限概念极限概念战国时代哲学家庄周著战国时代哲学家庄周著的的庄子庄子天下篇天下篇引用过一句话引用过一句话: : 一尺之棰一尺之棰 日取其半日取其半 万世不竭万世不竭. .*三国时的刘徽提出的 的方法.他把圆周分 成三等分、六等分、十二等分、二
2、十四等分、 这样继续 分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“ “割圆求周割圆求周” ”割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.2. 2. 1 2. 2. 1 极限概念极限概念*极限的直观意义极限的直观意义2. 2. 1 2. 2. 1 极限概念极限概念* *极限的分析定义极限的分析定义定义 定义 给定数列给定数列 x xn n ，若项数无，若项数无 限增大时限增大时( ( 记作记作n n ), ), 通项通项x xn n无限地接近常数无限地接近常数 A A, , 则称则称 A A为为 数列数列 x xn n 的极限的极限, , 记作记作 同时说数
3、列同时说数列 x xn n 收敛到收敛到A A否则否则 称数列称数列 x xn n 发散发散 * *分分析析定定义义项号项这一项与0的差的绝对值123 45678 2. 2. 1 2. 2. 1 极限概念极限概念*定定量量分分析析12345678 项号 边数内接多边形周长241263 2.5980762113533.0000000000003.1058285412303.13262861328148 3.13935020304796 3.141031950891192 3.141452472285384 3.141557607912 2. 2. 1 2. 2. 1 极限概念极限概念*1x2数列
4、极限的数列极限的-N-N定义定义一般地，对于数列 an，如果存在一 个常数A，无论预先指定多么小的正数, 都能在数列中找到一项 a N ，使得这一项 后面的所有项与A的差的绝对值都小于 （ 即当 nN 时，|an-A| 恒成立）,就把 常数A叫做数列 an的极限，记作an=A例例1.2.3 1.2.3 求求21+（-1)n+1*1x 2例例 1.2.31.2.3所给数列为所给数列为21+（-1)n+1解：解：随n无限增大时无限地逼近0,所以,*例例 1. 2. 41. 2. 4 等比数列等比数列aa0 0q qn n 的极限的极限. .*例例1. 2. 5 1. 2. 5 等比级数求和等比级数
5、求和. .把等比数列的所有项用加号连接起来就得到了等比级 数(几何级数). 即级数是微积分学中与数列密切相关的概念. 把无穷数 列的所有项用加号连接起来就得到了级数.式子 称为该等比级数的前 n 项部分和, 记作sn. 这是无穷多个数相加的问题. 怎么加 ? 考虑有限个数相加: *现在研究数列sn的收敛问题.部分和又构成了新的数列sn.*此时也称之为级数收敛., 称为级数发散., 此时级数也发散.综上所述此极限可理解为所有项相加的结果此极限可理解为所有项相加的结果, ,称之为等比级数的称之为等比级数的 和和. . 并记作并记作*解等比级数例 2.2.6 把循环小数L3171717. 2173
6、. 2=表示成分数的形式 .*数列极限小结数列极限小结微积分的主要研究对象是微积分的主要研究对象是函函 数数, , 数列只是特殊的函数数列只是特殊的函数. . 而而函数极限函数极限是微积分学的是微积分学的最最 基本工具基本工具, , 它贯穿微积分学它贯穿微积分学 的始终的始终, , 更需要我们去研究更需要我们去研究. . 下面来看一般函数的极限：下面来看一般函数的极限：2. 2. 1 2. 2. 1 极限概念极限概念*数列是特殊的函数 (自变量取正整数值). 我们更需要研究一般函数在自变量向某个方 向变化时函数(因变量)值是如何变化的. 函数 极限是微积分学的最基本工具最基本工具，它贯穿微积
7、分学的始终 先看两个例子*例 1.2.6 当|x|无限地逼近于 0 时，函数是如何变化的？这种情况记作*例 1.2.7这种情况记作当 x 无限增大时， 是如何变化的？这道 题书 上的 图有 误.*函数极限的朴素定义函数极限的朴素定义设 y = f (x) 是给定函数，如果自变量 x 在定义域内按 照某种趋势（记作x）变化时，函数值 f (x) 相应地变 化而无限地逼近常数，则称为函数在该变化过程中的 极限，或说收敛到（简称 y 有极限或 y 收敛），记作读作 x 趋于时函数y 的极限是.x 的六种不同情况：(1) xa: a 为常数，如例 1. 2. 7 中x0.(2) x: x 的值无限地增
8、大，如例 1. 2. 8.(3) x: x 的值无限地减小，如下例 1. 2. 9. 下一张下一张*自变量趋向负无穷大时函数的极限自变量趋向负无穷大时函数的极限例 1. 2. 8 *自变量自变量 x 趋向无穷大时函数的极限趋向无穷大时函数的极限例 1. 2. 9 (4) x: | x | 无限地增大，如下例.*在在a a点的左右极限点的左右极限(6) xa: x 小于 a 而无限地逼近a，读作 x 趋于a 减, 称 为 f (x) 在a a 点的点的左极限左极限. 4 3 2 1 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 -1-3xyo(5) xa: x 大于 a 而无限地逼近a，读
9、作 x 趋于a 加, 称 为 f (x) 在a a 点的点的右极限右极限. (5) xa: x 大于 a 而无限地逼近a，读作 x 趋于a 加, 称 为 f (x) 在a a 点的点的右极限右极限. 例 1. 2. 10 此题中左右极限有何差别？此题中左右极限有何差别？ 下一张下一张*xa 时f (x)的极限与函数值f (a)有没有定义， 究竟如何定义无关! 例 1. 2. 11 设f (x) 2x, x (0, 2), 则例 1. 2. 12 设g(x) 2x, x (0, 1) (1, 2), 则上述是三个不同的函数，三者的差别在于定义域或在x=1 处的函数值，但 x1 时的极限相同说明上
10、述的不同并不影 响它们在x=1处的极限的存在与极限值因为极限是 研究x在a点附近并且不断趋近a点时函数的变化趋势.例 1. 2. 13 设h(x) 则下一张下一张*2. 2. 2 2. 2. 2 极限的性质极限的性质设c 为常数, 则有下一张下一张*二、求极限方法举例二、求极限方法举例解例 1.2.14*小结:下一张下一张(代入法)*解(消去零因子法)例 1.2.15下一张下一张*解先通分合并再求极限.这类极限称 型, 要先相减合并后再求极限.下一张下一张例 1.2.16*例 1.2.17解(消去零因子法)*作业作业 P 习题1.2 1.2.1(1) (7), (24)1.2.8*思考题 在某
11、个过程中，若 f (x) 有极限， g(x)无极 限，那么 f (x) g(x)是否有极限？为什么？*没有极限假设 有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误思考题解答*补例2解左右极限存在且相等,极限的求法极限的求法( (续续) )*函数的连续性函数的连续性前面求分式极限的实例中, 若分母的极限 不为零时, 往往可直接将代入式子, 即得极限 值. 这是因为初等函数是连续连续的.下一张下一张*定理(这里,)(这里,)单侧连续*连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而
12、不间断的曲线.例如,*定理1.2.1 一切初等函数在其定义区间内都是 连续的.讨论: 定义区间与定义域的区别定义区间是指包含在定义域内的区间.定理1.2.1 基本初等函数在定义域内是连续的.*例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意 2. 初等函数求极限的方法代入法代入法.注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;*例3例4解解*1. 2. 4 1. 2. 4 两个重要极限两个重要极限(1)证明证明 ( ( 略略 ) )*补例解解例 1.2.20*于是同理可得解注: 此处运用了变量代换, 即换元法.例 1.2.21*e 是与 一样重要的一个无理
13、数，称为自然对数的 底，以 e 为底的对数 logex 记作 lnx ，称为自然对 数，它是以 e 为底的指数函数 ex 的反函数的极限.考察数列(2) 此极限的实际背景是自然科学与社会经济领域中 普遍存在的指数增长模型，比如化学、物理、生 物、心理学、社会学、经济学与金融商业领域都 有此类问题需要研究教材中以人口问题为例说 明了此重要极限的来历请自行阅读！*例 1.2.24解解解例 1.2.23例 1.2.22*解例1.2.24*解例1.2.25*三、小结三、小结1、极限的性质;2、极限求法 ;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限. 3、初等函数的连续性及用其求极限. 4、两个重要极限.*思考题:较复杂的极限题2) 类似.*作业 P38 习题1.2 1.2.1 (8) (10) (12) ,(14) (18), 1.2.2 (4) , 1.2.4, 1.2.5
