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1、储油罐的变位识别与罐容表标定储油罐的变位识别与罐容表标定摘要摘要通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套 的“油位计量管理系统” ，但许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原 因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位） ，从而导 致罐容表发生改变。本文分别针对无变位水平放置、纵向倾斜、纵向倾斜加横 向偏转等三种状态下的储油罐建立了罐内油位高度与储油量的对应关系的数学 模型。 问题一：首先对处于水平放置的无变位状况及油位纵向变位情况小椭圆型 储油罐进行分析，根据油位探针的高度分为两种情形分别建立模型，采用微元 思想利用定积分求解储油罐的体积。 （为油
2、位探针的高度）h，；)2 . 1 ()6 . 0(63417. 36 . 0)2 . 1 (arcsin3083. 11hhhhhV6 . 00 h。2 . 16 . 0)2 . 1 ()6 . 0(63417. 36 . 0)2 . 1 (arcsin3083. 13083. 12hhhhhhV，其次对于油位纵向变位时，由于罐体两端高度的差距，以油位探针的高度 为依据，分为五种情形考虑，分别建立模型（式 1.29） 。 问题二：对于实际储油罐，由于种种原因罐体会发生纵向或横向倾斜，从 而导致罐容表发生改变。由于罐体由球冠和圆柱体两部分组成，同问题一以油 位探针高度为划分依据，对球冠和圆柱体分
3、别分五种情况：对圆柱体，油位探针的高度为：,tan23tan65 . 10为纵向倾斜度）（h，tan25 . 1tan60 htan65 . 1tan25 . 10htan600 h；对球冠，3tan230h油位探针的高度为：，为纵向倾斜度）(tan23tan695 . 10h，tan25 . 1tan60 htan65 . 1tan25 . 10htan600 h，采用微元思想利用定积分，分别建立球冠与圆柱体的储油3tan230h量与油位探针所探到的油高之间的对应关系（2.3 节模型） 。Vh关键字关键字油位探针、微元定积分、储油量、变为识别一：问题重述一：问题重述通常加油站都有若干个储存燃
4、油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统” ，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行 实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发 生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位） ，从而导致罐容表发生改变。按 照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图 1 是一种典型的储油罐尺寸 及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图 2 是其罐体纵向倾斜变位 的示意图，图 3 是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解
5、决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 4 的小椭圆型储油罐 （两端平头的椭圆柱体） ，分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10 的纵向变位两 种情况做了实验，实验数据如附件 1 所示。请建立数学模型研究罐体变位后对 罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 （2）对于图 1 所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模 型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件 2） ，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐
6、体变位后油位高度间 隔为 10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件 2 中的实际检测数据来分析检验你 们模型的正确性与方法的可靠性。 附件附件 1 1：小椭圆储油罐的实验数据 附件附件 2 2：实际储油罐的检测数据油油浮子出油管油位探测装置注 油 口检 查 口地平线2m6m1m1m3 m油位 高度图图 1 储油罐正面示意图储油罐正面示意图油位探针图图 3 储油罐截面示意图储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线 地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地平线 油 3m油 油位探针 地平线图图 2 储油罐纵向倾斜变位后示意图储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出
7、油管油位探测装置注 油 口检 查 口水平线(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位 探针注油口水平线2.05m17cm cm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图图 4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图三、问题假设与符号说明三、问题假设与符号说明3.1、问题假设：1、假设所有的测量数据都是真实可靠的，不存在人为的采集误差影响； 2、假设在实验过程中，温度等外界因素对储油容积的影响忽略不计； 3、假设储油罐的变位角度足够小，可以满足对它进行多种情况分段计算。3.2、符号说明：符号过多，具体说明文中给出。四、模型建立与求解四、模型建立与求解
8、问题一：小椭圆储油罐的体积与油位探针高度的函数模型：问题一：小椭圆储油罐的体积与油位探针高度的函数模型：1.1 罐体无变位时的体积与油位探针高度的函数模型：当罐体无变位时，设侧面的油面面积为，则罐体储油的体积（储油)(hS量满足： 1V（1.1）)(45. 2)(1hSLhSV其中单位为，在后面的刻度标定与数据检验时将再考虑单位的转换。3m下分两种请况来考虑罐体储油的体积（储油量）与油位探针高度的函1Vh数关系模型。 1.1.1 上述情形的模型当，侧面的油面面积为与围6 . 00 h)(hS6 . 0 hy2289. 016 . 0xy成的平面图形的面积。其左右两个端点坐标为，从而侧面的油面面
9、积：)6 . 06 . 0 )6 . 0(189. 0(22 hhdxxhhSh)89. 016 . 06 . 0(2)(226 . 0)6 . 0(189. 00221=， （ )2 . 1 ()6 . 0(48333. 16 . 0 )2 . 1 (arcsin534. 0hhhhh)6 . 00 h（1.2）此时，根据（1.1）和（1.2）可以得到罐体储油的体积（储油量）与1V关系式：h（1.3）)2 . 1 ()6 . 0(63417. 36 . 0 )2 . 1 (arcsin3083. 11hhhhhV1.1.2 情形 2 的模型：当时，侧面的油面面积为与椭圆围成的平面2 . 16
10、 . 0 h)(hS6 . 0 hy阴影部分图形的面积。其左右两个端点坐标为，从而侧面的油面面积：)6 . 0,6 . 0 )6 . 0(189. 0(22 hh)2 . 1 ()6 . 0(48333. 16 . 0 )2 . 1 (arcsin534. 0534. 0)6 . 089. 016 . 0(2534. 0)(226 . 0)6 . 0(189. 00222hhhhhdxhxhSh )2 . 16 . 0( h（1.4）此时，根据（1.1）和（1.4）可以得到罐体储油的体积（储油量）与1V的关系式为：h， （1.5）)2 . 1 ()6 . 0(63417. 36 . 0 )2
11、. 1 (arcsin3083. 13083. 12hhhhhV根据（1.3）和（1.5）式可检测出附件 1 中那些与其描述的结论或吻合的 数据，这些数据之外的就是变位情况下的数据。 （数据中可能为 262进油VL 量）接下来考虑变位情况下的数据模型，即体积（储油量）与高度之间的关系 式。1.2 罐体纵向变位时的体积与油位探针高度的函数模型：当罐体纵向变位时，其水平线平行于坐标轴。此时，设油位指标测出的高度为，我们将研究油罐内储存的容积与的关系模型。h2Vh令侧面上左右两端的油高分别为和，容易得出与之间的关系1h2h21hh、h式，易得（1.6）tan4 . 01 hh（1.7）tan05.
12、22 hh其中.1 . 4设指左边为时左边截面油面面积；指右边为时右边截面)(11hS1h)(22hS2h油面面积。下面求和关于的表达式，分为以下几种情况进行考虑：)(11hS)(22hSh（I）时，类似于情形 2 可以得到，即：2 . 16 . 012hh时，tan4 . 02 . 1tan05. 26 . 0h，)2 . 1 ()6 . 0(48333. 16 . 0)2 . 1 (arcsin534. 0534. 0)(22111 11hhhhhhS，)2 . 1 ()6 . 0(48333. 16 . 0)2 . 1 (arcsin534. 0534. 0)(22222 22hhhhh
13、hS所以，类似的，设从油位探针底端出发到左米时，其对应的油位高度为：z（1.8） 1 . 4,4 . 0 , 0,tan)(1zzhzh设从油位探针底端出发到右米时，其对应的油位高度为：z（1.9）1 . 4,05. 2 , 0,tan)(2zzhzh油位探针左米处的油面截面积为：z)(2 . 1)()(6 . 0(48333. 16 . 0)(2 . 1)(arcsin534. 0534. 0)(11111 1zhzhzhzhzhzS（1.10） 油位探针右米处的油面截面积为：z)(2 . 1)()(6 . 0(48333. 16 . 0)(2 . 1)(arcsin534. 0534. 0
14、)(22222 2zhzhzhzhzhzS（1.11）其中（1.10）和（1.11）中满足表达式（1.8） ， （1.9） 。)(),(21zhzh因此，储油量即油罐内油的体积有如下表达式：2V4 . 0005. 20212)()(dzzSdzzSV（1.12）其中，满足（1.10） ， （1.11）.)(),(21zSzS（II）当时，即6 . 0012hhtan4 . 06 . 0tan05. 2 h)2 . 1 ()6 . 0(48333. 16 . 0)2 . 1 (arcsin534. 0)(11111 11hhhhhhS)2 . 1 ()6 . 0(48333. 16 . 0)2
15、. 1 (arcsin534. 0)(22222 22hhhhhhS设从油位探针底端出发左行米和右行米对应的油位高度分别满足zz （1.8） （1.9） ，即：；1 . 4,4 . 0 , 0,tan)(1zzhzh，1 . 4,05. 2 , 0,tan)(2zzhzh所以，油位探针左行米和右行米的油面截面积分别为：zz)(2 . 1)()6 . 0)(48333. 16 . 0)(2 . 1)(arcsin534. 0)(33333 3zhzhzhzhzhzS（1.13）（)(2 . 1)()6 . 0)(48333. 16 . 0)4(2 . 1)(arcsin534. 0)(44444 4zhzhzhhzhzS1.14）因此，储油量即油罐内油的体积有如下表达式：2V（1.15）4 . 0005. 20432)()(dzzSdzzSV其中满足（1.13）和（1.14） ，)(),(43zSzS)且时，即时，(2 . 16 . 01 h6 . 002 htan05. 26 . 0tan4 . 06 . 0h设从图 1.4 所示的点 O 出发左行 z
