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1、一、一、复数域上的二次型的规范形复数域上的二次型的规范形二二、实数域上的二次型的规范形、实数域上的二次型的规范形三、三、小结小结5.35.3 唯一性唯一性问题的产生：问题的产生：1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关.如：二次型作非退化线性替换得标准形得标准形2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关.而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数.若作非退化线性替换化为标准形 ，则有3. 问题：如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题） 定义二次型 的秩等于矩阵A
2、的秩，即秩 f 秩（A）.1 1、复数域上的二次型的规范、复数域上的二次型的规范形形1.1. 复二次型的规范形的定义复二次型的规范形的定义标标准形再作非退化线性替换设设复二次型 经过非退化线线性替换换可逆, 得这这里则 称之为复二次型 的规范形. 注意注意：复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种.复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定.2. 2.（定理（定理3 3）任一复二次型经过适当的非退化任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化线性替换可化 为规范形，且规范形唯一为规范形，且规范形唯一. .推论推论1 1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵推论推论2 2.两个复对称矩阵A、B合同二、实
3、数域上的二次型的规范形二、实数域上的二次型的规范形再作非退化线性替换1.1. 实二次型的规范形的定义实二次型的规范形的定义设实设实 二次型经过经过可逆，得标标准形 非退化线性替换其中，r = 秩 f 则则称之为实二次型 的规范形. 实二次型的规范形中平方项的系数只有1，1，0. 实实二次型的规规范形中平方项项的系数中 1 的个数与1的个数之和 = 秩 = 秩(A)是唯一确定的. 规范形是唯一的.注意注意定理定理4 4 任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一.证明：只证唯一性.2 2、惯性定理、惯性定理设实二次型 经过非退化线性替换 化成规范形 （1） 只需证（2）用反
4、证法，设由(1)、(2)，有经过非退化线性替换化成规范形（3）（4）则G可逆，且有考虑齐次线性方程组（5）方程组组（5）中未知量的个数为为n，方程的个数为为所以（5）有非零解.令为为（5）的非零解， 则则有而不全为为0. 将代入（3）的左端，得其值为同理可证证，故. 矛盾. 所以，得将其代入（3）的右端，得其值为值为由及定义实二次型 的规范形中正平方项的个数 p 称为 的正惯性指数；称为的负惯性指数；负平方项的个数称为的符号差.它们的差推论推论1 1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为其中的个数，+1的个数的正惯惯性指数；1的个数的负惯负惯 性指数.的对角矩阵 .推论推论2 2、实二次型具有相同
5、的规范形，且的正惯性指数=的正惯性指数.推论推论3 3、实对称矩阵A、B合同的正惯性且二次型指数相等.例例1 1、设，证证明：存在使又 D=D, 且使 即则则令证证：设设则则存在可逆矩阵阵例2、如果两实 元二次型的矩阵是合同的，则认为 上的一切 元二次类.它们是属于同一类的，那么实数域型可分为则 r 的可能取值值是0，1，2，n，指数 p 的可能取值值是0，1，r ，共种.的正惯性即有证证：任取实实n元二次型设设而对对任意给给定的1种2种n1种故共有类.三、小结三、小结基本概念这里，r 秩( f ).2、 n元实二次型 的规范形这里， 秩( f )，p 称为 f 的正惯性指数；称为 f 的负惯性指数； 称为 符号差.1、n元复二次型 的规范形基本结论定理3 任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵推论 两个复对称矩阵A、B合同定理4 任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵其中 的个数等于矩阵的秩.推论 两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是正惯性指数相等.且二次型 与 的
