小学二年级数学数学本质概念

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1、數學本質概念角度TKU94B03黃意菁 TKU94B11邱旻晟 綱要結構一、整數計算相關能力指標S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-07 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象 S-2-02 能理解垂直與平行的意義。 S-2-05 能理解旋轉角的意義。 S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認 識比例尺。綱要結構二、分項細目詮釋 一年級二年級三年級四年級五年級六年級2-s-01 能認識周遭物體 上的角、直線與 平面（含簡單立 體形體）。3-s-04 能認識角，並比 較角的大小4-s-04 能認識角度單位 度，使用量 角器實測角度或 畫出指

2、定的角。5-s-01 能透過操作，理 解三角形三內角 和為180度。6-s-02 能認識平面圖形 放大、縮小對長 度、角度與面積 的影響，並認識 比例尺。2-s-02 能認識生活周遭 中水平、鉛直、 平行與垂直的現 象。4-s-05 能理解旋轉角的 意義。5-s-03 能認識圓心角， 理解180度、360 度的意義，並認 識扇形。4-s-06 能理解平面上直 角、垂直與平行 的意義。數學結構 一、角概念（一）一般生活中所說的角概念 一般人對角的認識，常是真正角概念的局部：一個 角有個線段當作邊，兩邊中夾著一塊區域，產生一 個尖尖的頂點。此外，常以角的頂點或頂點的鄰近 區域來描述角，如桌角，牆角

3、，三角形的角，四邊 形的角，等數學結構 一、角概念（二）理想的角概念 從實際經驗及數學上的定義，角的意義可分成以下 三方面來說明： 1.角是一雙定出兩個方向間的差量之射線。 2.角是自同一端點射出的兩射線圍出的一個平面區 域。 3.角是一射線繞其端點旋轉一個程度的量。數學結構 一、角概念（二）理想的角概念 1.圖形角： 數學上的圖形角由相交且止於一點的兩線段所構 成。此二線段長短不拘，夾角大於0度小於180 度。此二線段稱為角的邊，交點稱為頂點。數學結構 一、角概念（二）理想的角概念 2.張開角： 像蚌蛤，高等脊椎動物的嘴巴，是一種兩片的一端 固定在一個可轉動的關節上，兩片或其中一片可以 旋轉

4、的裝置。用這種裝置可以做成夾子或摺扇。數學結構 一、角概念（二）理想的角概念 3.旋轉角： 將車輪的軸心固定，再讓車輪旋轉。這時可以選擇 一條車輪的半徑，以此半徑的轉動來描述車輪的轉 動。此一半徑可以先規定一個起始方向，例如以水 平向右做開始，然後向上、向左、向下。這叫做逆 時針向的轉動。如果以水平向右開始，先向下，在 向左，然後向上，這叫做順時針向的轉動。數學結構 二、角的大小一般人常會在角的兩邊各選一點，以此兩點的距離 當做角的開度，形成一個角的邊越長，其角度就越 大的錯誤觀念。因此，角的張開程度的大小不因為 邊長的差異而有所不同之正確概念的建立，是角度 數量化的基礎。所有度量角的方法均以

5、細分圖為基 礎，一般有二種常用的單位，它們分別根據度 和弧度來量。數學結構 二、角的大小（一）度：若一圓以半徑將之等量分割為360部份 ，則每二相鄰的半徑所來的角為1度，記作1 （二）弳：一個圓心角所對弧的長，與圓的半徑成 正比。如果取圓心角所對的弧長對其半徑的比值作 為圓心角大小的度量，則此度量稱為弳，又稱為弧 度。 數學結構 三、直角概念、直線的垂直與平行關係（一）直角的形成及角的分類 直角歸初得自人們觀察鉛直方向與水平方向所 成之形象特徵。數學上，角以兩邊所指的方向差的 大小加以分類，若角度相等於一圓半徑繞圓心旋轉 四分之一圓時，則稱此角為直角。仿此定義， 相等於半徑旋轉半個圓時，稱為平

6、角，若小於 直角，則稱為銳角，大於直角而小於平角，則 稱為鈍角，大於平角稱為優角，兩邊重疊 的優角稱為周角或全角。數學結構 三、直角概念、直線的垂直與平行關係（二）垂直和平行概念垂直線：生活中所說的垂直線，常指與水平面 成直角的線，數學上的則稱交角的直線為互相垂直 的線。平行線：二直線若方向相同，則為平行線，或 處處等距的兩直線為平行線。若在平面上而言，可 說成任意延長不相交的兩直線為平行線。數學結構 四、角的合成與分解將旋轉臂以一定方向旋轉到一個程度停止，再旋 轉後在停止。其結果與將旋轉臂一次旋轉至第二次 停止的方向相當，我們稱為旋轉角的合成。反之，本來預備以一定方向旋轉到某一定程度， 但是

7、還沒有轉到就停下來了。問還要再轉多少程度 ？可以稱為旋轉角的分解。認知結構與教學策略 一、從圖形角、張開角到旋轉角建立各種角概念 （一）圖形角小學階段的兒童，尚不易理解理想化的角概念 。根據荷蘭數學教育家van Hiele對兒童幾何思考 模式的研究指出：兒童最初是透過視覺觀察具體物 ，由實物的輪廓來辨認圖形，須透過感官的操作， 視覺的觀察進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等 活動獲得概念。 認知結構與教學策略 數學新課程在最初引出角的概念時，由圖形角 出發，採取角是多邊形頂點的局部的觀點，由描出 凸多邊形各角的活動引出角度小於180度的角之部 份形象以認識角。以概念是解題活動過程的抽象 的看法，

8、讓兒童透過要素抽離的實際活動，自多 邊形上描下角形，使兒童認識角是構成多邊形的要 素，初步認識角 。 認知結構與教學策略 （二）張開角由於角的多種不同意義，兒童對角的理解較為 困難，8至9歲的學童對角的認識，大都僅止於物體 上靜態的角之局部形象。因此為使理想化的角概念 和實物上的角產生聯結，應利用角概念的產品 ，如扇子的開合現象紀入，從產品的功能及其形成 活動引出角概念（張開角）、角的內部與角 共生現象、方向改變及邊為射線的一部份 （可任意延長）的意義。 認知結構與教學策略 （三）旋轉角是一種動作，動作停止，其現象即消失，為具 體呈現其起始位置和終止位置，通常以直線段或身 線表出，若要強調其起

9、始位置及旋轉方向，常以 指示，如認知結構與教學策略 旋轉是一種較抽象難懂的位置變換，10到11歲的 兒童，才有50%以上能夠描繪一個簡單圖形繞著 一個頂點的旋轉（Michael,1989）。Kirsche（ 1987）認為小學時期的兒童能夠而且應該獲得旋 轉的非正式經驗，旋轉角概念容易以像時鐘一樣的 圖像表示，再由想像及觀察生活中類似此種現象的 轉動情境，加強旋轉概念， 認知結構與教學策略 此階段兒童幾何概念的發展，大都還屬於van Hiele所謂的視覺辨識過渡到分析期的階段，而且 旋轉概念才初閃引出，對於旋轉一圈後，可再重復 原路徑繼續旋轉的角概念，尚不易理解，故經時僅 以360度以內為範圍

10、，利用鐘面指針旋轉及間隔與 旋轉角度的關係，擴展此概念。 認知結構與教學策略 二、由角的大小比較、合成、度量單位的引出到畫 特定角 （一）兒童角量概念的發展特徵根據皮亞傑（J. Piaget）的研究發現，角的大小常 被兒童認為和角臂的長度有關。8歲以前的兒童， 大都以角的邊長來觀察角的大小，直到8歲以後， 才能察覺角的兩國張開的程度，但此時許多學童尚 缺乏角的保留性概念，同大的角，若擺置的方向不 同，如認知結構與教學策略 a和b為同大的角，c和d皆為直角， 但擺放的開口方向不同，他們會認為大小不一樣。認知結構與教學策略 據研究發現，兒童能察覺角的大小是指兩個邊張開 程度的不同之後，才能做兩個不

11、同的角量之比較， 進而以一個基準角去描述另一個角的角量，將角量 數值化。Micheal強調兒童必須熟悉角的射線、區 域、旋轉三種的概念，而且達到融會貫通之後，才 能瞭解測出度數的意義。認知結構與教學策略 開度相差較大的角，兒童可以由視覺判定其大小， 開度相差不大的角、角的邊長短不一致或角的開口 方向不同，較難由視覺正確分辨的情況，可以經引 導後，利用疊合方式加以判別。認知結構與教學策略 開度相差較大的角，兒童可以由視覺判定其大 小，開度相差不大的角、角的邊長短不一致或角的 開口方向不同，較難由視覺正確分辨的情況，可以 經引導後，利用疊合方式加以判別。兒童能以單位度量角度之前，必須先具備角的 合

12、成概念 認知結構與教學策略 （二）由直觀比較、直接比較到間接比較判定兩個 或兩個以上的角之大小教學時，必須以不同的實便呈現不同特徵的角 供兒童觀察、操作與討論。因此，新課程中，首先 提出開度差異較大的角，如張開兩把差異極顯著的 紙扇，由兒童直觀的利用視覺辨別。其次提供較難 由視覺正確分辨其大小的角，如利用各種圖形板上 的角，引出使用疊合之方式進行直接比較。 認知結構與教學策略 直接比較與角所附著情境的不同，可分成四種不同 難易層次，由低而高分別為（1）單純角形且可任 意移動的二角之疊合；（2）一角可隨意拿動，另 一角不可單獨移動；（3）兩角皆不可單獨移動， 但其附著物可隨意移動，且可疊合；（4

13、）實物上 的角，其中至少一個便於拿動。教學時，自較低層 次的比較情況開始，再漸進到較高層次的比較。認知結構與教學策略 （二）由直觀比較、直接比較到間接比較判定兩個 或兩個以上的角之大小教學時，必須以不同的實便呈現不同特徵的角 供兒童觀察、操作與討論。因此，新課程中，首先 提出開度差異較大的角，如張開兩把差異極顯著的 紙扇，由兒童直觀的利用視覺辨別。其次提供較難 由視覺正確分辨其大小的角，如利用各種圖形板上 的角，引出使用疊合之方式進行直接比較。 認知結構與教學策略 （三）由簡化的量角器經驗刻度的描述到一般量角 器引出度的意義 角度的二維持特徵和長度的一維性質不同，因 此對初步經驗的兒童而言，一

14、般量角器是一把量角 的怪尺，為完全陌生的儀器，其構造較為複雜，較 難理解。新課程先以簡化的量角器讓兒童查覺其上 的刻度線，形成不同開度的角形，再產生角的開度 與量角器上刻度數值之聯結，進而嘗試在量角器上 比對，逐漸形成以數值描述角度的共識。認知結構與教學策略 其大致的引導過程如下： 1.引出量角工具的需要感 2.進行角的合成及個別單位的累積 3.認識量角器上刻度的意義： 認知結構與教學策略 （四）角度的估測與驗證連續量的估測是一種粗糙的截取活動，對某一定 的量有了量感這後，也可以此量做增減，估計另一 物件之量的大小。因此，在學童已有三角板上各個 角度大小及1度、5度等概念之後，可以這些為參考

15、進行做測活動，再以量角器加以驗證，使學童增加 角度量感及熟練量角器的操作要領。 認知結構與教學策略 （五）使用量角器經驗畫特定度數的角之方法1.畫出角的頂點和一個邊。 2.用量角器量出角度，確定另一邊所落的位置，做 上記號。 3.把所做記號和頂點連出另一邊。教學時，只要兒童以合理策略畫出指定度數的角即 可，並不限定其操作方法 認知結構與教學策略 （六）旋轉角的比較與度量、建立180度到360度 以內之角度概念 認知結構與教學策略 三、由建立直角概念，察覺長方形、正方形、直角 三角形的特徵及引出直線的垂直與平行關係（一）兒童直角概念的認知發展特徵Bryant（1974）的研究發現，5歲的兒童可以

16、 在一堆直角與非直角的圖形卡中分辨出直角，且比 一堆非直角的圖卡中彼此的區別容易。同時發現， 在一些直角的圖形中，角的邊是否呈水平或鉛直， 在比較兩角是否相等時，對於觀察者的反應有敏感 的影響。Noss （1987）發現部分的兒童對直角的 保留概念發展約在1011歲以後才較成熟。兒童最 初僅接受一邊是水平，另一邊呈鉛直情況的直角。認知結構與教學策略 （二）直角概念的建立小學三年級的學童，尚處於角概念的啟蒙階段 ，對於直角僅是初步的認識。可利用正方形和 長方形板上的角為觀察對象，引出直角名稱。再進 行各個具有明顯直角特徵物件上的直角之比對，把 直角由實物上的象徵抽離為紙上抽象的圖示，察覺 在不同方位上顯現的直角特徵，再由檢驗周遭物件 上的直角的特徵，引起折直角的動機。更多资源 高一语文 高一英语 高一数学 高一物理 高一化学 高一政治 高一历史 高一地理 高一生物 認知結構與教學策略 四年級的學童，對於長