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1、2 积 分 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。 古希腊阿基米德用“穷竭法”、我国的刘徽用“割圆术 ”，都曾计算过一些几何体的面积和体积，这些都 是定积分的雏形。直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分和微分 的之间的内在联系，给出了计算定积分的一般方法 ，从而使定积分成为解决有关实际问题的有利工具 ，并使各自独立的微分和积分联系在一起，构成了 完整的理论体系-微积分学。1. 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线及 x 轴、两直线所围成，求其面积 A。矩形面积 A梯形面积 A一、积分的概念1) 大化小 在区间 a, b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯
2、形分成 n 个小曲边梯形；2) 常代变 在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底，为高的小矩形， 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得解决步骤：4) 取极限 令则曲边梯形面积3) 近似和设某物体作直线运动，且求在运动时间内物体所经过的路程 s。解决步骤1) 大化小将它分成 n 个小段在每个小2) 常代变已知速度段上物体经过的路程为2. 变速直线运动的路程4) 取极限上述两个问题的共性：解决问题的方法步骤相同：“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”所求量的结构式相同： 特殊乘积和式的极限所要计算的量（面积、路程）决定于一个函数以及自变量的一个变化区间；3) 近似和任一种分法 任取总趋
3、于确定的则称此极限 I 为函数在区间上的，即此时称 f (x) 在a, b上可积。记作二、积分的定义定义1只要时，极限 I, 定积分，定积分概念教学演示实验积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即利用定义计算定积分解：将 0,1 n 等分, 分点为取例1，则注：利用得两端分别相加，得即曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和定积分的几何意义( k 为常数)三、积分的性质5. 若在a, b上则证：当时，因在上可积，所以在分割区间时，可以永远取 c 为分点，于是当当 a , b , c 的相对对位置任意时时, 例如
4、则有定积分对于积分区间具有可加性补补：若在 a, b 上则证：5. 若在 a, b 上则解：计算定积分比较的大小。解：在上，例2练习作业 P17积分的定义：1，2积分的性质：3，4，5阿基米德(前287-前212 )古希腊哲学家、数学家、物理学家。 出生于西西里岛的叙拉古。阿基米德到 过亚历山大里亚，据说他住在亚历山大 里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机， 今天在埃及仍旧使用着。后来阿基米德 成为兼数学家与力学家的伟大学者，并 且享有“力学之父”的美称。阿基米德流传于世的数学 著作有10余种，多为希腊文手稿。第二次布匿战争时 期，罗马大军围攻叙拉古，最后阿基米德不幸死在罗 马士兵之手。 “给我
5、一个支点，我能撬动整个地球。” 牛顿(1643 1727 )艾萨克牛顿（Isaac Newton）是 英国伟大的数学家、物理学家、天文 学家和自然哲学家，其研究领域包括 了物理学、数学、天文学、神学、自 然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有 发明了微积分，发现了万有引力定律 和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜 等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学 家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛 顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。 “如果说我比别人（笛卡尔）看得更远些， 那是因为我站在巨人的肩膀上 。” 莱布尼茨(1646 - 1716 )戈特弗里德威廉凡莱布尼茨 （Gottfried Wilhelm von Leibniz）德国 最重要的自然科学家、数学家、物理 学家、历史学家和哲学家，一位举世 罕见的科学天才，和牛顿同为微积分 的创建人。他的研究成果还遍及力学、 逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、 气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、 历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶” 就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国 哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了 不可磨灭的贡献。
