《同济大学 高等数学 课件 2.8》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学 高等数学 课件 2.8（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节 洛必达法则本节用求导的方法，来求出某些未定型的极限. 基本本节要点类型为 和 以及这两种形式的变形.问题的提出：考虑极限由等价无穷小，得再因一、基本类型但对于第三个极限，利用带佩亚诺型余项的麦克劳林 展开式，所以故极限为在上面的三个例子中，尽管均为无穷小的商的极限，但最终的极限却呈现出不同的结果. 因而我们把这类极限称为未定式. 洛必达法则给出了求这类极限的一个方法. 它主要针对 和 以及由这两种形式所产生的变形.定理1 设 在点 的某空心邻域内可导，并且 又满足条件: ；极限 存在或为无穷大，则：1. 型证 由于 故设从而函数 在点 的某邻域内连续. 设 是该邻域内的一点，且 则在以
2、 及 为端点的区间上，函数 满足柯西定理的条件，故有 其中 介于 和 之间. 令 并对上式两端取极限，由于 于是由条件即得所要证明的结论。注1 在使用该法则的过程中，若 仍然是型，则要再一次使用该法则，直到求出所需要的极限，即有定理1称为洛必达法则。注2 在使用罗必达之前，适当地使用一些等价无穷小的代换会简化某些计算.注3 若把罗必达法则中的极限过程 换成其它的极限过程，则有相应的结论。具体表现为等，为了统一上面的极限形式，我们用来表示洛必达法则。例1 求解 原式例2 求解 原式注意极限 不满足洛必达法则的条件(1),故而不能用洛必达法则。又如 ，但极限故而不满足洛必达法则的条件(2),不能用
3、洛必达法则，例如 也不能用洛必达法则。例3 求解 例4 求解 例5 求 解定理2 设 在点 的某空心邻域内可导，并且 又满足条件: ；极限 存在或为无穷大，则：2. 型证明的思路：设 在 的空心邻域内，且 介于 与 之间，由柯西 定理可以令 比 快，使得定理2也称为洛必达法则，一般我们用来表示，其中自变量可以是各种其它变化过程。解例6 求 上述极限表明， 时， 增大的速度比 快的多。解 例7 求上述极限表明， 时， 增大的速度比 快的多。二、其它类型除了前面的两种基本类型外，还有其它三中未定型，它们分别是:1.对 型,可以通过初等的方法将其转换成上面的两种类型. 我们通过下面的例子来说明这种方
4、法.例8 求解 例9 求解 例10 求解 原式2. 型对该种类型的常见方法是将某一项放到分母上，从而转变成基本类型.例11 求解 在这题中，若将 放到分母上，将会使问题复杂化. 这是因为原式从上式可以看到，经过这样的变换和求导，极限式只有比原先的问题更复杂了. 因而决定应该将另一个函数放到分母上去.3.幂指函数类型对幂指函数类的极限，常用的方法就是取对数将其转化成前面的类型. 常见类型为例12 求解 令 则 由前题知：所以例13 求解 令 则 所以例14 求解 令 ，则所以所以例15 求解 令 则所以例16 求解 令 则例17 求解 令 原式例18 设求 ，并讨论 在 处的连续性。解令故 在 处连续。
