线性代数实践_MATLAB

《线性代数实践_MATLAB》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数实践_MATLAB（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二篇 线性代数实践第五章 预备知识5.1 实验在线性代数中的重要性利用软件工具进行实验有以下的一些好处： 好处一：对于低价（三阶及以下）的线性 代数问题，MATLAB能提供图形帮助，有 利于牢固地掌握概念。 好处二：对于高阶的问题，MATLAB能提 供计算程序，方便而简捷，节省时间。 好处三：由于解题快捷，在课程中可以较 多地放进线性代数的应用实例。扩展学生 的视野，提高学习的目的性和积极性。线性代数实践的预期效果所以我们敢于提出本书的标志性特征： 线性代数抽象吗？看了本书后，你会知道 它的概念都基于空间形象。 线性代数冗繁吗？学了本书后，你会懂得 它的计算全可有简明程序。 线性代数枯燥吗？

2、读了本书后，你会发现 它的应用极其广泛又精彩。5.2 解决问题的三种视点 线性代数要解的基本方程组是 Ax=b 其完整矩阵形式为： 几百年来，无数数学家和工程师从不同的视点对 这个方程进行了研究。归纳起来，根据研究的主 要对象为x,A或b，可分成三个方面：从解联立方程的视点 视点1：着重研究解x，即研究线性方程组的解法 。中学里做的就是这样，前面介绍的用MATLAB 矩阵除法的解也是如此。 要点：矩阵的每一行代表一个方程，m行代表m 个线性联立方程。 n列代表n个变量。如果m是独 立方程数，根据mn确定方程是欠定 、适定还是超定。对这三种情况都会求解了， 研究就完成了。 必须剔除非独立方程。行

3、阶梯形式、行列式和秩的 概念很大程度上为此目的而建立。 本书6,7两章对应于本视点，区别是第6章用行阶梯 变换(消元法)而第7章用矩阵运算。从向量空间中向量合成的视点 视点2：把A各列看成n个m维基本向量，线性方程 组看成基向量的线性合成要点：解x是这些基向量的系数。它可能是常数(适 定方程)，也可能成为其中的一个子空间(欠定方 程) 。要建立其几何概念，并会求解或解空间。 第8章对应视点2。从线性变换(或映射)的视点 视点3：把b看成变量y，着重研究把Rn空间 的x变换为Rm空间y 的效果，就是研究线性变 换系数矩阵A的特征对变换的影响。要点：就是要找到适当的变换，使研究问题的 物理意义最为

4、明晰。特征值问题就是一例。 第9章对应于视点3。学习本课的方法 在学习本书之前，对理论结果应已基本掌 握。 首先着重于对低阶概念的理解，要在二维 和三维空间内体会线性代数的定义。 结合相应的MATLAB程序，弄清低阶的算 法，然后再引伸到高阶方程中去，进一步 搞清其算法和程序应有的扩展。 对于应用问题，不必全看，可结合自已能 理解的问题先看。5.3 直线和平面的快速绘制程序 平面曲线的快速绘制程序 ezplot( ,a,b) 引号中函数可以只有一个自变量，代表显函数 ezplot(f(x), a,b) 系统将在 a x b的范围内画出 f = f(x) 引号中的函数若有两个自变量，那就代表隐函

5、 数，其典型格式为 ezplot(f(x,y), a,b) 系统将在 a x b的范围内画出 f(x,y)=0。 a,b的默认值为-2, 2曲线快速绘制举例(例5.1) ezplot(x1+0.2*x23+1) 画出 在x1=-2, -2的曲线 画多条曲线可按下列方法编程 s1=x1+0.2*x23+1% 方程1 s2=3*x1+2*x2+3 % 方程2 ezplot(s1),hold on% 画方程1,保持 ezplot(s2),grid on% 画方程2,加网格 x1,x2=solve(s1,s2)% 解联立方程1,2解的结果解的说明 在线性代数中，遇到的都是一次函数，所 以不会出现曲线。

6、我们故意用一个三次曲 线来说明ezplot的用法，是为了使读者知道 ，这个命令不限于画直线。 MATLAB用solve命令解题是采用了符号运 算工具葙，它的数字精度是32位十进制， 而不是一般数值计算时的16位十进制。尽 管在本题中有两有效数字就够了 平面的快速绘制命令ezmesh ezmesh (f(x,y),a,b,c,d)可以绘制很多函数 的曲面。 其第一输入变元可以直接输入用MATLAB 语句写出函数的形式，引号中的函数只能 是显函数z=f(x,y)中的f(x,y)。它应该有两个 自变量，注意要用单引号括起来。 第二输入变元为自变量的取值范围，默认 情况下其x,y的取值范围都是-2,2

7、。 用ezmesh快速绘制平面举例 可以用以下的程序ag501在一张图内画两个 平面 clear, clf ezmesh(3*x1+2*x2+3) hold on ezmesh(x1-2*x2+1) 用隐函数的绘制平面程序 用ezmesh画平面必须要解出z=f(x,y)的显函 数形式，有时就觉得不太方便，容易发生 移项正负号或系数除法的错误。 为此，我们开发了画平面的ezplplot程序。 在一张图上画两个平面的ezplplot2程序和 画三个平面的ezplplot3程序。 这个程序还能画出诸平面的交线，根据 abs(z1-z2)tol 的条件画出一个点的符号， tol的默认值为1。隐函数绘制

8、平面举例(例5.3) 键入ezplplot后，按提示依次键入隐函数方程： x+y-z=5 2*x-3*y+z=3 -5*x+2*y-2*z=0 得到这三个平面的图形如图， 该程序中还包括一句解方程的程序(s1=x+y-z=5,) x,y,z=solve(s1,s2,s3) 故最后还可得到这三个方程的解，即其交点的坐标 x=10/7,y=-13/7,z=-38/7Ezplplot3的运行结果5.4 随机整数矩阵的生成程序 A=round(9*rand(2,4)生成24的一位正整数随机 矩阵。 A=round(19*(rand(2,4)-0.5)生成24的带正负系 数的一位整数随机矩阵。 装有AT

9、LAST程序集时，可用 A=randintr(3,4,9,2) 生成mn(34)随机矩阵，q=9是正负整数系数的 最大模，而r=2则是此矩阵的秩。显然输入变元时 必须保证rmin(n,m)，否则系统将会显示出错警 告。5.5 特殊矩阵的生成程序 除了最常用的全零zeros(m,n)、全么 ones(m,n)、单位矩阵eye(n)等矩阵外， MATLAB提供了一些特殊矩阵的生成程序 ，见本书表2.1中的特殊矩阵栏。 ATLAST 手册中也提供了19个特殊矩阵的 生成程序（见本书附录B）。 在本书的子程序集中，也提供了几个初等 变换矩阵的生成程序 。 5.6 线性代数建模与应用概述 本节介绍一些大

10、的系统工程中使用线性代 数的情况，使读者知道为什么线性代数在 近几十年来变得如此的重要。 首先要介绍Leontief教授把美国的经济用 500个变量的500个线性方程来描述，在 1949年利用当时的计算机解出了4242的 简化模型，使他于1973年获得诺贝尔经济 奖，从而大大推动了线性代数的发展。 现代飞行器外形设计例 把飞行器的外形分成若干大的部件，每个 部件沿着其表面又用三维的细网格划分出 许多立方体，这些立方体包括了机身表面 以及此表面内外的空气。对每个立方体列 写出空气动力学方程，其中包括了与它相 邻的立方体的共同边界变量，这些方程通 常都已经简化为线性方程。对一个飞行器 ，小立方体的

11、数目可以多达400,000个，而 要解的联立方程可能多达2,000,000个。 飞行器控制的例 飞行器的运动要用三个转动和三个平移共 六个变量来表示（像在第九章中介绍的那 样）。除此以外，为了控制飞行器的三维 转动，需要三个控制面，即方向舵（垂直 尾翼）、升降舵（水平尾翼）和副翼，它 们的偏转角又构成了三个变量。描述飞行 器的运动就需要12个变量的组合。而且这 已经不单是代数方程，而是微分方程了。 卫星遥感图象处理的例 卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄 像，对每一个区域，可以获得七张遥感图 象。利用多通道的遥感图可以获取尽可能 多的地面信息，因为各种地貌、作物和气 象特征可能对不同波段的光

12、敏感。而在实 用上应该寻找每一个地方的主因素，成为 一张实用的图象。每一个象素上有七个数 据，形成一个多元的变量数组，在其中合 成并求取主因素的问题，就与线性代数中 要讨论的特征值问题有关。 国家地理信息系统的例 在全国设立几十万个观察点，把每一点的 经度、纬度和高度三个坐标建立起来。现 在对于经度纬度的测量精度要求，已经提 高到了若干厘米，对于高度的精度要求更 高。在一些边远地区，对于一些特征点的 测量，要耗费很大的人力物力。例如对珠 穆朗玛峰顶高度的测量，要经过多种方法 ，取得多种数据，并且用最小二乘法进行 误差的处理。 6.1 方程的MATLAB表示方法其中:等价于行号、列号和变量名 可

13、以看出，变量后圆括号中的第一个数是 行号，第二个数是列号，不加下标的变量A 自身代表一个矩阵。除了把下标放入圆括 号中之外，MATLAB的表述与原来的算式 是完全一致的，非常好记。不过在 MATLAB中变量名和元素名是一致的，式 (6.3)中的矩阵A应该是a。但是为了使叙述 文与一般的矩阵书籍相一致，我们还是把 矩阵用大写字母表示，数组和元素则用小 写字母，希望读者注意。欠定、适定和超定方程 如果n是未知数的数目，m是独立方程的数目，那 么当nm时，未知数比独立方程数目多，此方程 组有无数个解，称为欠定方程；当nm时，未知 数比独立方程数目少，此方程组无解，称为超定 方程；只有当nm时，未知数

14、与独立方程数目相 等，因而有惟一的解x，称为适定方程。所以，不 能简单地看形式上的m和n，还必须要剔除其中非 独立方程的虚假成分。本章和下一章中将讨论的 行阶梯形式、行列式和秩等概念，很大程度上就 是为了找到独立方程的数目。几种二元线性方程的解 例6.1 求解下列四个线性方程组 (a) (b)(c) (d)用图解法解例6.1(a,b,c)用ezplot(s1),hold on, ezplot(s2),命令 可以解出结果如下图 其中s1和s2分别为方程的字符串表达式用图解法解例6.1(d)用解析法解例6.1.1 用代入法或消去法等中学方法求解； 用矩阵求解的方法 用MATLAB符号工具箱求解 x

15、1a,x2a=solve(s1,s2) 其结果当然是相同的： (a) 解为x1a=3,x2a=2 (b) 解为x1b= ,x2b= , 表示无解 (c) 解为x1c=2*x2-1,x2c=x2，表示有无数解 (d) 解为x1d= ,x2d= , 表示无解求解三元线性方程组的例 再由两式联立解得： x=1.4286 y=-1.8571 z=-5.4286 用图解方法ezplplot3画此三个方程的平面， 用的就是例5.3的程序，得到 ：按例6.2画出的三个平面三元一次方程的几何意义 这三个方程的几何意义为空间的三个平面 ，两两消去z，意味着求两者的交线，得到 的两个二元一次方程对应于求得的两根交 线，最后由交线得到交点，该交点就是方 程的解（见图6.3）。当两个平面平行，没 有交线，或者两根交线平行，没有交点时 ，方程组就不相容，因而无解；同样也可 能有无穷个解的情况，读者可自行思考想 象。6.2 初等行变换和高斯消元子程序 执行以下三种行运算不会影响方程的相等 关系，故不会影响方程组的解。矩阵C的行 初等变换的MATLAB表示式为： (1)。行交换： c(i,j,:)=c(j,i,:) (2)。行乘数： c(i,:)=k*c(i,:) (3)。行相加： c(j,:) = c(j,:)+