8固体电子输运理论

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1、第七章 固体电子输运理论能带结构输运性质载流子受到的散射或碰撞三个问题外场下作用下载流子的运动规律外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响 引入驰豫时间描述采用半经典模型引入分布函数，并将这些影 响归结到对分布函数的影响7.1 外场下Bloch电子运动的半经典模型7.2 Boltzmann方程7.3 外场和碰撞作用7.4 驰豫时间的统计理论7.5 电-声子相互作用7.6 金属电导率 电阻率7.8 磁输运性质 霍尔效应 磁电阻效应7.9 热输运性质 热电效应 热导率 热电势对外电场、磁场采用经典方式处理半经典含义对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理模型每个电子具有确定的位置 r 、波矢 k 和

2、能带指标n 建立模型描述r 、 k 和n 随 时间的变化规律能带指标电子的速度波矢随时间的变化(1)电子总呆在同一能带中 (2)忽略不同带间的跃迁7.1 Bloch电子运动的半经典模型Bloch 电子 的运动方程对晶格周期场的量子力学处 理全部概括在 函数中能带结构输运性质半经典模型使能带结构与输运性 质即电子对外场的响应相联系输运性质能带结构 同基于理论得到的能带结构进行比较从 而验证能带结构的理论基础的正确与否提供了从能带结构推断出 电子输运性质的理论基础基于输运性质的测量结果 推断出电子的能带结构7.2 Boltzmann方程对固体中电子输运性质的了解，除载流 子受到的散射或碰撞外，需要

3、知道外场 作用下载流子的运动规律以及外场和碰 撞同时作用对载流子输运性质的影响。外场下载流子运动规 律可基于半经典模型现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和 外场同时作用对载流子运动规律的影响？引入分布函数，并将这些 影响归结到对分布函数的 影响定义对于单位体积样品，t时刻、第n个能带中，在（r,k） 处 相空间体积内的电子数为：每一个电子对电 流密度的贡献为n通常不标出，因为考虑 的是同一带中的电子所以总电 流密度为碰撞以及碰撞和外场同时作 用对 f 的影响？ 在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系 统的分布函数为费米分布函数与位置无关。 有外场/温度不均匀时，电子将偏离热平衡， 相

4、应的分布函数 点范围内如何随时间变化呢？t 时刻（r,k）处的电子由于碰撞的存在，dt 时间内从（r-dr,k- dk）处出发的电子并不都能到达（r,k）处 ，另一方面， t 时刻（r,k）处的电子也并 非都来自t-dt 时刻（r-dr,k-dk）处漂移来 的电子，因此有：若将因碰撞引起的 f 变化写 成 则有必来自t-dt 时刻（r-dr,k-dk）处 漂移来的电子若没有碰撞，则有玻尔兹曼方程右边第一项展开，保留到dt的线性项，有对于稳态Boltzmann方程决定于体系的能带结构与外场有关因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞 作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子

5、输 运性质的理论基础半经典模型7.3 外场和碰撞作用(1)温度场温度梯度的存在引起不均匀的分布函数通常假定非平衡的稳态分布 相对于平衡分布偏离甚少(2)电场忽略掉温度梯 度对f1的影响(1)温度场(2)电场(3)磁场(3)磁场玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。假设没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数 偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。(4)碰撞负号源于偏离随时 间的增加而减小。方程的解：该方程说明：由于碰撞作 用，系统将以时间常数 弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫时间 来描述这个恢复过程：温度场、电场、磁场及碰撞作 用同时存在下的Bol

6、tzmann方程温度场电场磁场碰撞(4)碰撞(1)温度场(2)电场(3)磁场得 到代入7.4 固体电阻率在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为泰勒定理：因此，该式相当于上述泰 勒展开式的一级近似借助分布函数电 流密度可表示为由于平衡分布对 电流没有贡献相 当 于同时注意到7.4.1 直流电导率说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡 分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了或者说，在k空间中，外加电场引起费米 球刚性平移了注意到知道了分布函数就可以很方便的 求出电流密度，只需对分布函数 在相空间求积分：代入两个等能面之间的距离为dk 面元为ds体积元为由于：而：考虑K空间的

7、两个等能面由于 只在费米 面附近才不为零，即所以积分只需考虑 在费米面附近进行考虑一个立方体晶体， 外场方向沿着Ox方向， 电流沿着Ox所以立方体晶体的电导率利用对称性以及关系利用得到得到和在自由电子气模型中得到的 结果形式上相同，不同之处有 两点，一是电子的质量为有效 质量，二是驰豫时间为费米面 上电子的驰豫时间。剩余电阻率声子散射有 关的电阻率电子电子相互作 用有关的电阻率磁散射有关 的电阻率导体在多种散射机制存在下，总的散射几率是：总散射驰豫时间电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、 库仑作用等，往往存在着多种散射机制Pi代表第i 种机制单位时间内单位时间内的散射几率意味

8、着总电阻率是不同散 射机制引起的电阻率之和杂质、缺陷等散射电子声子相互作用电子电子相互作用磁散射导体电阻率至少包含四个部分马西森(Matthiessen)定则当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生 小的振动，使得电子势变成 晶体中共有化运动的电子是在和 晶格具有相同周期的势场中运动 ：对理想完整的晶体，绝对零度时离 子实处在严格周期排列的位置在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定 波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化 。明显地，周期势场因晶格振动而 被破坏，附加的偏离周期性势场离子实对平衡 位置的偏离 7.4.2 电-声子相互作用可看作为微扰，它使得电子从

9、一个稳 定态跃迁到另一稳定态，即出现散射 假设偏离很小，则有 为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支 将波矢q、频率的简正模引起的原子位移写成实数形式 为振动方向上的单位矢量 这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题在这样的微扰下，电子从k态跃迁到k态的几率为函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即离子实偏离平衡位置的运动组成晶体 中的格波，格波的能量是量子化的。格波的量子称为声子 因此晶格振动对电子的散射实 际上就是声子对电子的散射。晶格运动对电子的散射过程相当于电子通 过吸收（+）或发射声子（-），从一个稳 定态跃迁到另一稳定态的过程。量子力学语言吸收声子发射声子散射矩阵元由于晶格平移对称性

10、，求和部分仅仅 当波矢之和为倒格矢方不为零，由此 给出晶格动量守恒关系，即能量守恒关系动量守恒关系正常过程或N过程此时说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q 的声子跃迁到末态k的过程能量和动量均是守恒的。吸收声子发射声子倒逆过程或U过程此时说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子 跃迁到末态k的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。7.4.3 驰豫时间碰撞项该方程说明：由于碰撞作 用，系统将以时间常数 弛豫回到平衡分布。另外一方面，碰撞 项也可以表示为：代表单位时间内因碰撞进入（r，k ）处相空间单位体积中的电子数代表单位时间内因碰撞离开（r，k） 处相空间单位体积中的

11、电子数若电子从k态跃迁到k态的几率为wk,k，计及泡利不相容 原理，则有同理有因此可以论证则有在外加电场下对球形费米面如取电场方向为k方向，则有为k和k之间的夹角写成积分形式7.4.4 声子散射有关的电阻率随温度的变化故电阻率不仅与跃迁几率有关， 还涉及（1-cos）的权重因子很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用 的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变 。 由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子 ）相互作用导致电子从k态到k态的跃迁，其跃迁几率正比于 该格波振幅的平方对 所描述的格波模晶格中每个原子的振动动能对时间平均后得到N个原子总的振动动能为可见

12、，振幅的平方与相应格波模的能量相联系 ，用声子语言，则是比例于相应的声子数频率为的格波的声子数按德拜模型，总的声子数为高温低温同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos)与 温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即另外一方面，低温下涉及的声子波 矢小，需要考虑(1-cos)因子的影响布洛赫-格林艾森T5定律更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：A为材料有关的常数，M原 子质量，D为德拜温度 高温低温意味着高温时，因电 声子相互作用引起的电 阻率随温度降低而线性 减小意味着低温时，因电 声子相互作用引起的电 阻率按T5关系随温度降 低而减少称为布洛赫-格林艾森公式7.4.5 极化子(po

13、larons) 有关的电阻率电声子相互作用最通常的效应表现在电阻率对温度 的依赖关系上，电子被声子所散射，温度越高，存在 的声子就越多，散射也就愈加频繁，因此，电阻率随 温度升高而增加。电声子相互作用一个更为微妙的效应是在金属和绝 缘体中由于电子依附离子实而随之运动，使得电子有 效质量增大。电子以及与之相伴随的晶格应变场的组合统称为极化子电声子相互作用极化子的形成以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程KCl形成弹性点阵 由于K离子带正电，如果传 导电子出现在K离子附近意味着，在弹性点阵情况下， K或Cl离子会因为同传导电子 之间的库仑力作用而发生位移 ，即所谓的晶格应变同样由于Cl离子带负电，

14、当 传导电子经过时，传导电子 和Cl离子之间的库仑排斥力 作用使得Cl离子远离传导电 子弹性点阵则传导电子和K离子之间 的库仑吸引力作用，使得 K离子向传导电子靠近电子加上与之联系的应 变场称为一个极化子离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增 大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速 度变缓。在极端情况下，传导电子自陷于应变场中，或者 说传导电子被因晶格畸变而产生的应变场所捕获 ，成为束缚态电子。现在所关心的是，电子如何从一个束缚态过渡到 另一个束缚态极化子有关的电阻率高温下，传导电子借助于热激活机理可 以从一个束缚态过渡到另一个束缚态 高温无外场时 势能曲线传导电子越过势垒向左和 向右

15、的几率势一样的传导电子右端势垒高度 由原来的E0下降至而传导左端势垒高度增至外场的作用使势垒不再对称因此，传导越过势垒向右的净几率为而电阻率在弱场或高温下低温低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体 三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论按照该理论，低温（kT表示在等 能面上的平均自由电子气如果弛豫时间对能量的依赖不重要， 则由3项中最难估算 的是()项对其它金属，如Cu、Ag等，导电电子的行为 在某些方面相当接近于自由电子，尽管热电 势在温度较高时是正比于温度的线性行为， 但符号为正，说明问题并不如此简单。看到，热电势是负的，其数值正比于温度。 这正是图中K、Na金属在约150K以上的行为。7.7.4 热电势的测量对热电势的测量，通常采用如图所示的由A、B两种材料构成的回路 ABB1423TTTVAB由于温差引起的电势差在T0(如室温)下测量，则有 B材料常用铜线，已知SB时，就可得到SA