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1、第四节 平面与平面平行内 容要 求ABC两平面平行的判定与性质质三年1考 高考指数:平面与平面平行(1)判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.文字语言图形语言符号语言判 定 定 理(2)性质定理文字语言图形语言符号语言性 质 定 理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行(3)两个平行平面间的距离公垂线与两个平行平面_的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.两个平行平面间的距离两个平行平面的_叫做两个平行平面间的距离,两个平行平面的公垂线段_.都垂直公垂线段的长度都相等【即时应用】(1)思考：能否由线线平行推证面面平行？如果一个平面内有无数
2、条直线平行于另一个平面，则这两个平面一定平行吗？提示：可以，只需一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两平面平行不一定平行如果这无数条直线互相平行，则这两个平面就可能相交，而不一定平行(2)已知两平面与平行，a，判断下列命题的正确性(请在括号中填写“”或“”).a与内的所有直线平行 ( )a与内的无数条直线平行 ( )a与内的任何一条直线都不垂直 ( )a与无公共点 ( )【解析】中，a与内的直线可能平行或异面，故不正确；过a作平面交平面于直线b，则ab，故直线a平行于平面内所有与直线b平行的直线，故正确；中，a可以与内的直线垂直，故不正确；由,a 可得a，故正确.答
3、案： (3)若两直线a,b分别在两个平行平面内,则a,b的位置关系是_.【解析】a,b分别在两个平行平面内，则两直线必然无公共点，所以，两直线的位置关系为平行或异面.答案：平行或异面(4)设,是两个不重合的平面，a,b是两条不同的直线，给出下列条件：,都平行于直线a,b；a,b是内两条直线，且a,b；若a,b相交，且都在,外，a,a，b,b其中可判定的条件的序号为_.【解析】、中的平面可能平行、相交，故不正确；因为a、b相交，可设其确定的平面为，根据a，b，可得，同理可得，因此，故正确答案：面面平行的判定【方法点睛】面面平行的判定方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点；(2)利用面面平行的
4、判定定理；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行【例1】如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC边上的一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.【解题指南】要证明两个平面平行，关键是在其中一个平面内找两条相交直线分别与另一个平面平行.【规范解答】连结A1C，交AC1于点E,四边形A1ACC1是平行四边形，E为A1C的中点，连结ED.A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1D=ED.A1BED，又E为A1C的中点，D为BC的中点，又D1是B1C1的中点，BD1C1D，A
5、1D1AD，且BD1 平面AC1D，A1D1 平面AC1D，BD1平面AC1D,A1D1平面AC1D,又A1D1BD1=D1，平面A1BD1平面AC1D.【反思感悟】1.面面平行的证明首先要考虑判定定理.2.线线平行，线面平行，面面平行可以相互转化.【变式训练】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.【证明】如图，连结B1D1、B1CP、N分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD又PN 平面A1BD，PN平面A1BD同理MN平面A1BD，又PNMNN，平面MNP平面A1BD【变式备选】如图
6、所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？【解析】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.QB平面PAO.连BD，则BD过O点，P、O分别为DD1、DB的中点，D1BPO.D1B平面PAO，D1BQB=B，平面D1BQ平面PAO.面面平行的性质【方法点睛】1.面面平行的应用(1)面面平行常常用来作为判定线面平行或者是线线平行的依据；(2)面面平行通常与平行公理、等角定理放在一起使用；(3)如果结合线面垂直，可以通过面面平行得到线面距
7、、点面距，并且常以长方体或者正方体为载体.2.三种平行间的转化关系线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向 性质定理【例2】如图，已知，异面直线AB、CD和平面、分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：(1)E、F、G、H共面；(2)平面EFGH平面【解题指南】(1)证明四边形EFGH为平行四边形即可；(2)利用面面平行的判定定理，转化为线面平行来证明【规范解答】(1)E、H分别是AB、DA的中点，EH BD.同理，FG BD，FG EH四边形EF
8、GH是平行四边形，E、F、G、H共面(2)平面ABD和平面有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD，ADBD.又BDEH，EHBDAD.EH平面，同理，EF平面，又EHEFE，EH 平面EFGH，EF 平面EFGH，平面EFGH平面【反思感悟】1.线面、面面平行的判定和性质常常结合在一起进行考查，解题中要注意性质和判定交替应用2.利用判定或性质解题时，应注意解题过程的规范性，即要准确地使用数学语言及符号来表示出定理的有关内容【变式训练】如图，在三棱锥P-ABC中，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，G为OC的中点，求证：FG平面BOE.【证明】设BC的中点为H，连结FH，GH.F、H分
9、别为PB、BC的中点，FHPC，E、O分别为PA、AC的中点，PCEO，FHEO，又FH 平面BOE.FH平面BOE，G、H分别为OC、BC的中点，GHBO，又GH 平面BOE，GH平面BOE,又FHGH=H，平面FGH平面BOE，FG平面BOE.【变式备选】如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点.求证：直线MN平面OCD.【证明】如图取OB中点为G，连结GN、GM.M为OA的中点，MGAB.ABCD，MGCD.MG 平面OCD，CD 平面OCD,MG平面OCD.又G、N分别为OB、BC的中点，OMABNCDGGNOC.GN 平面OCD，OC 平面OC
10、D，GN平面OCD.又MG 平面MNG，GN 平面MNG且MGGN=G，平面MNG平面OCD.MN 平面MNG，MN平面OCD.线面平行、面面平行的综合应用【方法点睛】平行关系中范围问题的解答策略解答立体几何中的有关最值或范围问题，常用函数思想解决，通过设出适当的变量、建立函数关系，转化为求函数的最值(或值域)的问题解题时要弄清哪些是定值，哪些是变量，如何根据题意建立函数关系，如何求函数的最值等 【例3】(1)如图，已知平面平面平面，且位于与之间.点A、D，C、F，AC=B，DF=E.设AF交于M，AC与DF不平行，与间距离为h，与间距离为h，则当BEM的面积最大时 =_.(2)(2011合肥
11、模拟)如图所示，四边形EFGH所在平面为三棱锥ABCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围【解题指南】(1)由面面平行得到线线平行，进而得到各线段间的关系，结合三角形的面积公式求解即可；(2)证明AB，CD各平行于平面EFGH内的一条直线即可；设EF=x，用含x的式子表示四边形EFGH的周长，转化为求关于x的函数的值域【规范解答】(1)由题意知BMCF，SBEM = CFAD (1 )sinBME.据题意知，AD与CF是异面直线，只是在与间变化位置.故CF、AD是常量，sinBME是AD与CF所成角的
12、正弦值，也是常量，令hh=x.只要考查函数y=x(1x)的最值即可，显然当x= ，即 = 时，y=x2+x有最大值.当 = ，即在,两平面的中间时，SBEM最大.答案： (2)四边形EFGH为平行四边形，EFGHHG 平面ABD，EF 平面ABD，EF平面ABDEF 平面ABC，平面ABD平面ABC=AB,EFAB,EF 平面EFGH，AB 平面EFGH,AB平面EFGH.同理可得CD平面EFGH设EF=x(0x4)，四边形EFGH的周长为l由知EFAB，则 ；又由可得CDFG,则 ,从而FG=6- x四边形EFGH的周长l=2(x+6- x)=12-x又0x4，8l12即四边形EFGH周长的
13、取值范围为(8,12)【互动探究】本例(2)的条件不变，结论改为“若AB=4，CD=6，当四边形EFGH的面积最大时，求截面的位置”，如何求解？【解析】设EF=x,EFG=(为异面直线AB,CD所成的角或其补角)由本例的解题过程可得FG=6- x，故S四边形EFGH=EFFGsin=x(6- x)sin=- (x2-4x)sin=- (x-2)2+6sin所以当x=2时，四边形EFGH的面积最大，此时FG=3，即E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD的中点.【反思感悟】解决立体几何中范围(或最值)问题的关键是如何确定变量及如何建立关系式，求最值的常用方法是运用函数或利用基本不等式，解题中需
14、注意函数的定义域及基本不等式成立的条件.【变式备选】如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1M=DN=a(0a )，连结MN(1)证明对任意a(0, )，总有MN平面DCC1D1；(2)当a为何值时,MN的长最小？【解析】(1)作MPAD，交DD1于P；作NQBC，交DC于Q，连结PQ由题意得MPNQ，且MP=NQ，则四边形MNQP为平行四边形MNPQ,又PQ 平面DCC1D1，MN 平面DCC1D1,MN平面DCC1D1(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形，MN=PQ，由已知得D1M=DN=a，DD1=AD=DC=1AD1=BD= ,D1P1=a ，DQ1=a ,即D1P=DQ= MN=PQ(0a )故当a= 时，MN的长有最小值 即当M,N分别移动到AD1，BD的中点时，MN的长最小，此时MN的长为 【易错误区】平行关系中判断充分必要条件时的常见错误【典例】(2011江西高考改编)已知1,2,3是三个相互平行的平面，平面1,2之间的距离为d1，平面2,3之间的
