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1、第四讲第四讲 数列数列一、基本概念：一、基本概念： 1 1、数列：、数列：一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集1,2，3，n ）的特殊函数。数列的通项公式数列的通项公式也就是相应 函数的解析式。 有穷数列有穷数列：_； 无穷数列无穷数列：_ 递增数列递增数列：_； 递减数列递减数列：_ 常数列：常数列：_ 摆动数列摆动数列：_数列的通项公式数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式 nann数列的递推公式数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式na1na2 2、等差数列：、等差数列：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这个常数称为等差数
2、列的公差定义或,其中 d 为公差.1(nnaad d为常数）11(2)nnnnaaaan等差中项：等差中项：若成等差数列，则 A 叫做与的等差中项，且, ,a A bab 2abA通项公式的变形：通项公式的变形：；nmaanm d11naand1 1naadn；11naandnmaadnm等差数列的前等差数列的前项和：项和：；n1 2n nn aaS112nn nSnad3 3、等差数列的性质：等差数列的性质：1)当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和0d 11(1)naanddn adndn是关于的二次函数常数项 0.1(1)2nn nSnad2 1()22ddna
3、nn2)若项数为，则，且，*2n n21nnnSn aaSSnd偶奇 1nnSa Sa奇偶3)若项数为，则，且，（其中，*21nn2121nnSnanSSa奇偶1Sn Sn奇偶nSna奇） 1nSna偶4)当时,则有，特别地，当时，则有mnpqqpnmaaaa2mnp2mnpaaa4 4、等比数列：、等比数列：从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等2比数列的公比定义，其中或，其中 q 为公比.1(nnaq qa为常数）0,0nqa11nnnnaa aa(2)n 等比中项：等比中项：在与中间插入一个数，使，成等比数列，则称为与的等比中项若，则abG
4、aGbGab2Gab称为与的等比中项Gab通项公式的变形：通项公式的变形：；n m nmaa q1 1n naa q11nnaqan mnmaqa等比数列等比数列的前的前项和：项和： nan 11111111n nnna qSaqaa qqqq 6 6、等比中项的性质：、等比中项的性质：1)若项数为，则*2n nSqS偶奇2)n n mnmSSqS3)，成等比数列nS2nnSS32nnSS4)若是等比数列，且（、） ，则；若是等比数列，且 namnpqmnp*qmnpqaaaa na（、） ，则2npqnp*q2 npqaaa2 2、基本运算：基本运算：1 1、数列的通项的求法：、数列的通项的
5、求法： 1)公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。2)已知（即）求，用作差法：。nS12( )naaaf nna11,(1) ,(2)nnnSnaSSn3)已知求，用作商法：。12( )na aaf nA A Ana(1),(1) ( ),(2)(1)nfn f nanf n4)若求用累加法：。1( )nnaaf nna11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n5)已知求，用累乘法：。1( )nnaf nana12 1 121nn n nnaaaaaaaa(2)n 6)已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列） 。na2 2、数列求和的常用方法：、数列求和的常用方法：
6、 1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，1123(1)2nn n 2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相 加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. n 4) 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减 法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. n 5)
7、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常 用裂项形式有：； 111 (1)1n nnn；11 11()()n nkk nnk，2211111()1211kkkk；21111111 1(1)(1)1kkkkkkkkk ；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn.2122(1) 11nn nnnnn 2(1)nn6)通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 三、基本定理、公式：三、基本定理、公式： 1、数列的通项公式与前 n 项的和的关系( 数列的前 n 项的和为).11,1,2n nnsn
8、assnna12nnsaaa2、等差数列的通项公式；* 11(1)()naanddnad nN其前 n 项和公式为1() 2n nn aas1(1) 2n nnad.2 11()22dnad n3、等比数列的通项公式；1*1 1()nn naaa qq nNq其前 n 项的和公式为或.11(1),11 ,1nnaqqsqna q 11,11 ,1nnaa qqqs na q 4、等比差数列 :的通项公式为 na11,(0)nnaqad ab q；1(1) ,1(),11nn nbnd q abqdb qdqq 其前 n 项和公式为.(1) ,(1)1(),(1)111n nnbn ndq sd
9、qdbn qqqq 【例题精讲例题精讲】例例 1.1.等比数列na的公比1 2q ，前n项和为nS，则44S a 例例 2.2.设等差数列na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列类比以上结论有：设等比数列 nb的前n项积为nT，则4T， ， ，1612T T成等比数列例例 3.3. 等比数列na的公比0q , 已知2a=1，216nnnaaa，则na的前 4 项和4S= . 例例 4.4. 等差数列 na的前 n 项和为nS，已知2 110mmmaaa，2138mS,则m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 例例 5.5.等差数列na的公差不为零
10、，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 例例 6.6. 设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a ，611a ，则7S等于【 】A13 B35 C49 D 63 例例 7.7. 公差不为零的等差数列na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项, 832S ,则10S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 例例 8.8. （20102010 北京文数）北京文数） （16） （本小题共 13 分）已知|na为等差数列，且36a ，60a 。（）求|na的通项公式；（）若等差数列|n
11、b满足18b ，2123baaa，求|nb的前 n 项和公式例例 9.9. （20102010 山东文数）山东文数）(18)(满分 12 分）已知等差数列 na满足：37a ，5726aa. na的前 n 项和为nS.（）求na 及nS；（）令21 1n nba（nN）,求数列 nb的前 n 项和nT.【实战演练实战演练】1.为等差数列，则等于A. -1 B. 1 C. 3 D.7 2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： . 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形， 将其称为三角形数;类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数
12、。 下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378（20102010 辽宁文数）辽宁文数） （3）设nS为等比数列 na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q A.3 B. 4 C. 5 D.6（20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数）(6)如果等差数列 na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+7a=A.14 B. 21 C. 28 D.35（20102010 安徽文数）安徽文数）(5)设数列na的前 n 项和2 nSn，则8a的值为A. 15 B. 16 C. 49 D.64（20102010 重庆文数）重庆文数） （2）在等差数列 na中，1910aa，则5a的值为A.5 B. 6 C. 8 D.10（20102010 浙江文数）浙江文数）(5)设ns为等比数列na的前n项和，2580aa则52S SA.-11 B. -8C. 5D.11 （20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数） （4）已知各项均为正数的等比数列na，123a a a=5，789a a a=10，则456a a a=A.5 2 B. 7 C. 6 D. 4 2（20102010 湖北文数）湖北文数）7.已知等比数列ma中，各项都是正数，且1
