经典讲义——圆单元总结

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1、考点一：圆的对称性考点一：圆的对称性 出题类型一：圆的轴对称性圆是轴对称图形，图的直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴 【例题】圆的对称轴是 出题类型二：圆的中心对称圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，将圆绕中心旋转任意度数，所得图形都与原图形重 合。 【例题】同心圆是指 的圆，等圆是指 的圆考点二：点与圆的位置关系考点二：点与圆的位置关系 出题类型：判断点的位置点与圆有三种位置关系：在圆上，在圆内，在圆外，通过点与圆心的距离可加以判断 【例题】已知三角形 ABC 边长 BC=12，AC=5，C=90，D 为 BCAC 中点，以 A 为圆心，5 为半径 画圆，则 B 点在圆 ，以 B

2、 为圆心，以 12 为半径画圆，则 A 点在圆 ，以 D 为圆心，6.5 为半径画圆，则 C 点在圆 考点三：优弧与劣弧考点三：优弧与劣弧 出题类型一：表示出图中的优弧与劣弧优弧是指大于半圆的弧，劣弧是指小于半圆的弧，半圆不是优弧也不是劣弧 【例题】表示出图中的各个弧出题类型二：找出各个弦所对的弧。 一般来说，每条线所对的弧有两条，除直径外，弦所对的两条弧为一优弧与一劣弧 【例题】找出图中所有的弦，并写出弦所对的弧考点四：垂径定理考点四：垂径定理 出题类型一：根据垂径定理的定义进行判断 【例题】 下面四个命题中正确的一个是（ ） A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条

3、弧所对的弦 C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧 和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 【同类变式】 下列命题中，正确的是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆 心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线 平分弦所对的弧 出题类型二：根据垂径定理计算线段长 【例题 1】.在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度AB是_cm.【同类变式】.如图，已知O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30， 求 CD 的长.出题类型三：根据垂径

4、定理计算角的度数 【例题】 、已知：在中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数Ocm12ABOABABAOB 和圆的半径. 出题类型四：利用垂径定理进行证明 【例题】如图，已知在中，弦，且，垂足为，OCDAB CDAB H 于，于.（1）求证：四边形是正方形.（2）ABOE ECDOF FOEHF 若，求圆心到弦和的距离.3CH9DHOABCD考点五：垂径定理的推论考点五：垂径定理的推论 出题类型一:根据直径平分弦得出垂直的关系根据垂径定理的推论，平分弦的直径垂直线，平且平分弦所对的两条弧 【例题】：如图 M、N 为 AB、CD 的中点,且 AB=CD.求证：AMNCNM 出题类型二:根据直径

5、平分弧得出垂直的关系DCBAOMN根据垂径定理的推论，平分弧的直径平分弧所对的弦，平且垂直于这条弦AOBCABDCE O【例题】： 如图，OA的直径AB平分弧 CD,，AB，CD相交于点E，100COD，求COE，DOE的度数出题类型三：拱桥问题拱桥中会遇到求拱桥的高，拱桥的半径，车或轮船能否通过等问题【例题】.如图，有一圆弧形拱桥，桥的跨度16mAB ，拱高4mCD ，则拱桥的半径是【同类变式 1】如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2 米,拱顶高出水面 2.4 米.现有一艘 宽 3 米、船舱顶部为长方形并高出水面 2 米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？【同类变式 2】

6、.某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面 2m,半径为 1.5m,一辆高 3m,宽 2.3m 的集装箱车能通过这个隧道吗?考点六：圆心角定理考点六：圆心角定理圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 出题类型一：利用定理判断命题的正确性 【例题】.下列说法正确的是（ ） A.相等的圆心角所对的弧相等。 B.相等的圆心角所对的弦相等。 C.度数相等的两条弧相等。D.相等的圆心角所对的弧的度数相等。 出题类型二：运用定理证明弧相等【例题】.已知如图，12 求证：AAACBD【同类变式 1】.如

7、图，已知 AB、CD 为的两条直径，弦 DEAB 求证：AACBBE【同类变式 2】如图，AB 为直径，OCAB,EF 过 CO 的中点 D 且 EFAB 求证：AA2ECEA出题类型三：运用定理证明弦相等【例题】已知：如图， AB 为的弦，E、F 是 AB 上的两点，且AAAEBF,OE、OF 分别交 AB 于点C、D，求证：AC=BD考点七：圆心角定理的推论考点七：圆心角定理的推论推论 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等推论 2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量

8、都相等ABDC12O合 2合OEDCBA合 3合OFEDCBA合 合 合FEODBAC如图所示，OEAB 于 E，OFCD 于 F，若下列四个等式：AOB=COD；AB=CD；OEOF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若成立，成立；若成立，成立；若成立，成立；若成立，成立前提条件：在同圆或等圆中！前提条件：在同圆或等圆中！出题类型一出题类型一：利用圆心角定理推论进行证明：利用圆心角定理推论进行证明 利用圆心角相等进行证明【例题】已知：如图, AB、DE 是O 的两条直径，C 是O 上一点，且AAADCE。求证：BE=CE利用弧相等进行证明CEBDAO【例题】已知：如图，在中，弦求证

9、：利用弦心距相等进行证明BAD C【例题】.如图A 与B 是两个等圆,直线 CFAB,分别交A 于点 C、D，交B 于点 E、F。求证： CAD=EBF 【同类变式】.如图，A、B 分别为 CD 和 EF 的中点，ABAAAAAAABCDEF分别交 CD、EF 于点 M、N，且 AM=BN。求证：CD=EF出题类型二出题类型二：利用圆心角定理推论进行计算：利用圆心角定理推论进行计算弧的度数等于弧所对圆心角的度数。弧的度数等于弧所对圆心角的度数。 【例题】在中,BC 为的一条弦且等于的半径,则 BC 的度数是 【同类变式】AB 是O 的直径，AC、AD 是O 的两弦，已知 AB=16，AC=8，

10、AD=8，求DAC 的度 数【同类变式】如果要把直径为 30cm 的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可 能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？【总结】：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 如下表：弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等在同圆或等圆中如果弧相等 弧所对的弦的弦心距相等 弦所对的圆心角相等 弦所对的弧（指劣弧）相等在同圆或等圆中如果弦相等弦的弦心距相等弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等 在同圆或等圆中如果弦心距相等 弦心距所对应的弦相等考点八：圆周角与圆心角的关系考点八：

11、圆周角与圆心角的关系圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半 出题类型一：运用圆心角与圆周角的关系求角的度数【例题】：如图，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，130AOC，则AAD的度数为，ACBD的度数为，CAD的度数为，ACD的度数为来源:学|科|网 Z|X|X|K【同类变式】1.如图，在O 中，BAC=32，则BOC=_。 2.如图，O 中，ACB = 130，则AOB=_。图 2出题类型二：运用同弧所对的圆周角相等来求角的度数【例题】如图，在O 中，A = 40，则BOC = _，BDC=_。【同类变式 1】如图 1，ABC内接于OA，ABAC，点E，F分别在AAC 和ABC 上，若50A

12、BC，则BEC，BFC来源:学科网 ZXXK图 1 图 2【同类变式 2】. 如图 2，BD是OA的直径，弦AC与BD相交于点E，则下列结论一定成立的是（ ）ABDACD ABDAOD AODAED ABDBDC 【同类变式 3】. 如图，已知圆心角AOB=100，求圆周角ACB、ADB 的度数？【同类变式 4】.一条弧所对的圆周角为 80，它所对的圆心角是_度，它所含的圆周角是_ 度出题类型三：运用弦与弧之间的关系求圆心角与圆周角的度数 【例题】例题已知O 中的弦 AB 长等于半径，求弦 AB 所对的圆周角和圆心角的度数【同类变式】一条弦分圆为 1：4 两部分，求这弦所对的圆周角的度数出题类

13、型四：运用同弧所对圆周角相等进行证明【例题】. 如图，已知P是OA外任意一点，过点P作直线PAB，PCD，分别交OA于点A，B，C，D求证：1 2P（ABD的度数AAC的度数） 【同类变式 1】已知：如图，在ABC 中，AD，BD 分别平分BAC 和ABC，延长 AD 交 ABC 的外接圆于 E，连接 BE求证：BE=DE 图 1ABCODAOCBAOBC【同类变式 2】如图,在O 中,AB 是直径,CD 是弦,ABCD.(1)P 是上一点(不与 C、D 重合),试判断CPD 与COB 的大小关系, 并说明理由.ACAD(2)点 P在劣弧 CD 上(不与 C、D 重合时),CPD 与COB 有

14、什么数量关系?请证明你的结 论.【同类变式 3】已知：如图，在ABC 中，AD，BD 分别平分BAC 和ABC，延长 AD 交ABC 的外接圆于 E，连接 BE求证：BE=DE考点九：圆周角定理考点九：圆周角定理圆周角定理：直径多对的圆周角是直角，圆周角是直角时所对的弦是直径。 出题类型一：通过构造直角三角形，得出两角互余【例题】如图，BC为OA的直径，ADBC，垂足为D，AABAAF，BF与AD交于E（1）求证：AEBE；（2）若A，F把半圆三等分，12BC ，求AE的长【同类变式 1】已知：如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是中点，DEAB 于 E，交 AC 于F，DB 交 AC 于 G求证：AF=FG【同类变式 2】已知 BC 为半圆 O 的直径，ADBC，垂足为 D，过点 B 作弦 BF 交 AD 于 E，交半圆O 于点 F，弦 AC 与 BF 交于点 H，且 AEBE，求证：AAABAF出题类型二：通过构造直角三角形，利用沟谷定理进行求解【例题】如图所示，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦，