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1、例题例题21 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵是面心立方点阵反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵证明选体心立方点阵的初基矢量如图 18 所示，12aaxyz22aaxyz 32aaxyz其中 a 是立方晶胞边长，是平行于立方体边的正交的单位矢量。 , ,x y z初基晶胞体积3 1231 2cVaaaa根据式(21)计算倒易点阵矢量123231312222,cccbaa baa baaVVV212322222222cxyz Vaaaabaaxyaa
2、a 223122222222cxyz Vaaaabaayzaaa231222222222cxyz Vaaaabaazxaaa于是有：123222,bxybyzbzxaaa显然正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是123,b b b面心立方点阵，立方晶胞边长是4a同理，对面心立方点阵写出初基矢量12aaxy22aayz32aazx如图 1.10 所示。初基晶胞体积。3 1231 4cVaaaa根据式(21)计算倒易点阵矢量123222,bxyzbxyzbxyzaaa 显然，正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵123,b b b为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a2
3、2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是证明倒易点阵初基晶胞的体积是，这里，这里是晶体点阵是晶体点阵32/cVcV初基晶胞的体积；初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身证明(a) 倒易点阵初基晶胞体积为，现计算由式(21)123bbb123bbb知，123231312222,cccbaa baa baaVVV此处123cVaaa而 222331123121311222ccbbaaaaaaaaaaaaVV这里引用了公式：。 A BCDA BD CA BC D由于，故有3110aaa22331212cbbaaaaV而312cVaaa故有22
4、312cbbaV233123111232222cccbbba baaaVVV或写成 3123 1232bbbaaa倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的倍。32(b) 现要证明晶体点阵初基矢量满足关系123,a a a233112 123 1231231232,2,2bbbbbbaaabbbbbbbbb有前面知：22312cbbaV令 223 11 1231232122cbbcabbbVbbb又知 ，代入上式得：3 12312cbbbV 3111322ccVcaaV 同理 31 22 1232bbcabbb12 33 1232bbcabbb可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身23
5、 面间距面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易证明倒易点阵矢量点阵矢量垂直于这组平面垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点证明两个相邻的点123G hklhbkblb阵平面间的距离阵平面间的距离 d(hkl)为：为：2d hklG hkl(c) 证明对初基矢量证明对初基矢量互相正交的晶体点阵，有互相正交的晶体点阵，有123,a a a2221231d hkl hkl aaa (d) 证明对简单立方点阵有证明对简单立方点阵有222ad hkl hkl 证明(a) 参看图 23，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面 A
6、BC 在三个晶轴上的截距分别是 现要证明 G(hkl)垂直于 ABC，只需证明123,a h ak alG(hkl)垂直于平面 ABC 上的两个矢量 CA 和 CB 即可，31aaCAhl32aaCBkl用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(22)，立即可得3311 123130aaaaG hklCAhbkblbhblbhlhl同理，0G hklCB故 G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)(b) 点阵平面(hkl)的面间距 d(hkl)为 123112G hklhbkblbaad hklOA nhhG hklG hklG hkl(c) 如果晶体点阵的初基矢量彼此正交，则倒易点阵的初基矢量
7、也123,a a a必然彼此正交设 112233,bb x bb y bb z由倒易点阵基矢的定义123231312222,cccbaabaabaaVVV及 得123cVa a a1122332,2,2ba baba2222222222 123222 12312322hklhklG hklhbkblbaaaaaa于是面间距为22212321d hklG hklhkl aaa (d) 对立方晶系中的简单立方点阵，用(c)的结果可得123aaaa222ad hkl hkl 24 二维倒易点阵二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长一个二维晶体点阵由边长 AB4，AC=3，夹角，夹角BAC的平行四边形的
8、平行四边形 ABCD 重复而成，试求倒易点阵的初基矢量重复而成，试求倒易点阵的初基矢量3解 解法之一参看图 24，晶体点阵初基矢量为14ax233 322axy用正交关系式(22)求出倒易点阵初基矢量。设12,b b111222,xyxybb xb y bb xb y由111221222 ,0,0,2b ab ababa得到下面四个方程式(1)1142xyxb xb y(2)1133 3022xyxyb xb y(3)2240xyxb xb y(4)2233 3222xyxyb xb y由式(1)得： 1142 ,2xxbb由式(2)得： ，即1133 3022xybb133 302 22yb
9、解得： 12 3yb 由式(3)得： 2240,0xxbb代入式(4)得： 223 342 ,23 3yybb于是得出倒易点阵基矢124,22 33 3bxy by解法之二选取为方向的单位矢量，即令3a z3az于是初基晶胞体积为cV12333 346 322cVa aaxxyz倒易点阵基矢为1232233 32226 32 3cbaaxyzxyV23124 3 3cbaayV31222cbaazV对二维点阵，仅取两个方向，于是得 , x y124,22 33 3bxy by25 简单六角点阵的倒易点阵简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为简单六角点阵的初基矢量可以取为1233
10、3,2222aaaa xy aa xy acz (a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为 2c和和，并且相对于正点阵转动了，并且相对于正点阵转动了 30 角；角；43a(b)当比率当比率 ca 取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如如果正点阵的果正点阵的 ca 比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积解(a)选取简单六角点
11、阵的初基矢量如图 25 所示12333,2222aaaaxy aaxy acz 初基晶胞体积为2 3123 2cVaaaa c倒易点阵初基矢量为123223222223 00ccxyzaaabaaxyVVaa c231 222200 33022ccxyzbaacxyVVaa aa 3122232022 3022ccxyzaabaazVVc aa或写为12343432,222233xxbybybzcaa同正点阵初基矢量12333,2222yyaaxaaxacz比较看出，所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为和123,b b b2c，并相对于正点阵绕 转动了 30角(见图 26)。43ac(b)
12、设倒易点阵的点阵常数比为，出(a)可知ca324 23acacca若，则有cac a2233,0.93122cac a故当正点阵的值为时，倒易点阵的和正点阵的有相同值。c a3 2cac a若正点阵 ca，则倒易点阵的为8 3ca30.532caa c故当正点阵的 ca 为理想值时，倒易点阵的这个比值为 0.53(c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的 WS 晶胞显然为一六角正棱柱(如图 27)，其体积为3322163cVa c 即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为3123216 3bbba c 26 底心正交点阵的倒易点阵底心正交点阵的倒易点阵 证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵正交点阵证明底心正交点阵的惯用晶胞如图 28 所示选取初基矢量为12311,22aax aaxby acz初基晶胞体积为2cabcV 倒易点阵基矢为12323131221124222,cccbaaxybaay baazVabVbVc由图 29 可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为。4,4,2abc27 三角点阵的倒易点阵三角点阵的倒易点阵 三角点阵初基矢量具有相等长度三角点阵初基矢量具有相等长度 a，
