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1、作业 8 函数的连续性1、 设函数在点处连续，且对一切适合 f x0x 12,xxR证明：在上连续。 1212f xxf xf x f x,证明：由已知可得 0000000fffff 11221221212f xf xxxf xxf xf xxf xf x只要对任意的，证明即可。0,x 00lim xxf xf x 因为，令 0lim00 xf xf 0hxx 00000limlimlim0 xxxxhf xf xf xxf h 所以 00000limlim xxxxf xf xf xf xf x 2、 确定常数的值，使得在处连续。,a b 211 11axbxf xx x 1x 解：由条件可
2、得极限要存在，所以 112limlim1xxaxbf xx1122lim2lim1041xxaxbabaxbxabx1124limlim112xxaxbaxb xxaxb1lim1212xaxaa abxaxb ，。22222abaaa 62b 3、 指出下列函数的间断点及其类型1） 221xxf xx x解：为函数的间断点。0 ,1,1xxx f x因为 2220001limlimlim111xxxxxxf xxx x，所以是的跳跃间断点。 2220001limlimlim111xxxxxxf xxx x 0x f x因为，所以是的可去间断点。 2211111limlimlim121xxxx
3、xf xxx x1x f x因为，所以是的无穷间断点。 221111limlimlim11xxxxxf xxx x 1x f x2） 2223 5ln4xxf xx解：是函数的间断点。5 ,5 ,1,1 ,3 ,3xxxxxx f x因为，所以是的无穷间断点。 221123limlim5ln4xxxxf xx 1x f x因为 22221111131323limlimlimlim151lnln 1444xxxxxxxxxxf xxxx，所以是的可去间断点。143lim81xx x 1x f x因为 22223333131323limlimlimlim959lnln 1444xxxxxxxxxx
4、f xxxx，所以是的可去间断点。3418lim33xx x3x f x因为，所以是的无穷间断点。 223323limlim5ln4xxxxf xx 3x f x因为，所以 222255552323limlim0 , limlim055lnln44xxxxxxxxf xf xxx是的可去间断点。5x f x4、 求下列函数的极限1） 2013sincos lim1 cosln 1xxxx xx解：原式2001sin13sincos3cos3limlim1 cos1 cos2xxxxxxxxx xxx 2）csc lim2cos4xxx解：原式2cos1cos421limsin12sincos2
5、cos12cos122444lim12cos14xxxxxxxxxxee5、 设函数在上连续，且，证明：存在点使得 f x,a b f af b,ca b。 2baf cfc证明：在区间上考虑函数，由于函数,2aba 2baF xf xfx在上连续，所以函数在区间上连续。 f x,a b F x,2aba ,222abababF af afF bff bff a1）如果，则有，可 2abf af 222ababbaff af bf以取有；,2abca b 2baf cfc2）如果，则有，根据零点定理，至少存在一点 2abf af 0F aF b有。,2abcaa b 2baf cfc6、 设在上连续，证明：在上至少存在一点 f x,a b12,nxxxa b,a b，使得。 11ni iff xn证明：设 1212max,min,knlnf xf xf xf xf xf xf xf x1）如果，则可取中任一点都有。 klf xf x12,nxxx 11ni iff xn2）如果，则有，由介值定理在至 klf xf x 11nlik if xf xf xn,klxx少存在一点有，显然在区间上。 11ni iff xn,a b
