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1、- 1 -解三角形（一）正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (二) 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形 状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明第第 1 课时课时 三角形中的有关问题三角形中的有关问题变式训练 1：(1)ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 2ca，则cosB （ ）A1 4B3 4C2 4D2 3解：B 提示：利用余弦定理 （2）在ABC 中，由
2、已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.0020,45 ,80bACB.030,28,60acBC.014,16,45abAD. 012,15,120acA解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知 大角求小角，则只有一解（3）在ABC 中，已知5cos13A ，3sin5B ，则cosC的值为（ ）解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的变形 形式余弦定理的变形 形式解 三 角 形应用举例测量实习典型例题典型例题基础过关基础过关知识网络知识网络考纲导读考纲导读高考导航高考导航- 2 -A 16 65B 56 65C 16 65或 56 65D 16 65解
3、：A 提示:在ABC 中，由sinsinABAB 知角 B 为锐角 （4）若钝角三角形三边长为1a、2a、3a，则a的取值范围是 解：02a 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)aaaaaa 可得（5）在ABC 中，060 ,1,3,sinsinsinABCabcAbSABCA则= 解：2 39 3提示：由面积公式可求得4c ，由余弦定理可求得13a 例 3. 已知在ABC 中，sinA(sinBcosB)sinC0，sinBcos2C0，求角 A、B、C 解：由 sinA(sinBcosB)sinC0，得 sinAsinBsinAcosBsin(AB)0， 所以 sinB(sinA
4、cosA)0B(0, ), sinB0, cosAsinA，由 A(0, )，知 A4从而 BC43，由sinBcos2C0 得 sinBcos2(43B)0cos(232B)cos2(22B)cos(22B)sin2B得 sinBsin2B0，亦即 sinB2sinBcosB0，由此各 cosB21，B3，C125A4B3C125变式训练 3：已知ABC 中，22（sin2Asin2C）=（ab）sinB，ABC 外接圆半径为2.（1）求C； （2）求ABC 面积的最大值.解：（1）由 22（sin2Asin2C）=（ab）sinB 得22（224Ra224Rc）=（ab）Rb 2.又R=2
5、，a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosC=abcba 2222=21.又0C180，C=60.（2）S=21absinC=2123ab=23sinAsinB=23sinAsin（120A）=23sinA（sin120cosAcos120sinA）=3sinAcosA+3sin2A- 3 -=23sin2A23cos2A+23=3sin（2A30）+23.当 2A=120，即 A=60时，Smax=233.第第 2 课时课时 应用性问题应用性问题1三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等） ； 正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测
6、量高度问题、测量角度 问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等； 实际问题中有关术语、名称 （1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰 角；在水平视线下方的角叫俯角 （2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角例 1(1)某人朝正东方走xkm 后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么x等于 （ ）（A）3 （B）32 （C）3或 32 （D）3解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）A 40 320 3 ,3mm
7、 B 10 3 ,20 3mmC 10( 32) ,20 3mm D 15 320 3,23mm 解：A（3）一只汽球在2250m的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上 A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m后，又测得 A 点处的俯角为082，则山的高度为（ ）A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m 解： B （4）已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若 A的航行速度为 25 nmi/h，B 的速度是 A 的3 5，过三小时后，A、B 的距离是 小结归纳小结归纳典型例题典型例题基础过关基础过关小结
8、归纳小结归纳- 4 -解：90.8 nmi (5) 货轮在海上以 40km/h 的速度由 B 到 C 航行，航向为方位角0140NBC，A 处有灯塔， 其方位角0110NBA，在 C 处观测灯塔 A 的 方位角035MCA，由 B 到 C 需航行半小时， 则 C 到灯塔 A 的距离是 解：10( 62)km 提示：由题意知 075BCA，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练 1：如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前
9、往 B 处救援（角度精确到 1）？ 解：连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+10222010cos120=700.于是,BC=107.sinsin120 2010 7ACB, sinACB=73,ACB90 ACB=41 乙船应朝北偏东 71方向沿直线前往 B 处救援. 例 2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南2(cos)10方向 300 km 的海面 P 处，并以 20 km / h 的速度向西偏北45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km ，并以 10 km / h 的速度不断增加，问几小 时后该城市开始受到台风的
10、侵袭？持续多长时间？ 解：设在时刻 t(h)台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t+60(km)若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则6010 tOQ由余弦定理知OPQPOPQPOPQOQcos2222由于 PO=300,PQ=20t 5445coscosOPQ故2222203009600OQtt21060t即2362880tt 解得 2412 t北2010ABC- 5 -答：12 小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续 12 小时 变式训练 2：如图所示,海岛 A 周围 38 海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在 B 处测得岛 A 在船的南偏东030方向上，船航行
11、30 海里后，在 C 处测得岛 A 在船的南偏东045方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在ABC 中，BC=30，030B ，0135ACB所以 015A ，由正弦定理可知：sinsinBCAC AB0030 sin15sin30AC 所以060cos15AC ，于是 A 到 BC 所在直线的距离为000sin4560cos15 sin45AC40.9838 所以船继续向南航行无触礁危险。例 3. 如图所示，公园内有一块边长2a的等边ABC 形状的三角地， 现修成草坪，图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在 AB 上， E 在 AC 上. （1）设
12、AD()x xa，EDy，求用x表示y的函数关系式； （2）如果 DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置 应该在哪里？如果 DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的 位置又在哪里？请给予证明. 解：（1）在ABC 中，D 在 AB 上，2axaSADE=1 2SABC 02011sin60sin6024x AEAB22aAEx ，在ADE 中，由余弦定理得：4 222 242ayxax 4 22 242(2 )ayxaaxax（2）令 2xt，则224ata 则4 242aytat令 4 2224( )2,4af tta taat ，则4242222244(2)(2)( )1at
13、atataf tttt 22(,2) ( )0taaf t当时,；22(2,4) ( )0taaf t当时,222222()3,(2)2,(4)3f aafaafaa又22,2 taxa当 即 时,y有最小值2a，此时 DEBC，且2ADa224, 2 taaxaay当 或 即 或 时,有最大值3a，此时 DE 为ABC的边 AB 或 AC 的中线上. 变式训练 3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为 S，为了使渠道的 渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？- 6 -解：设 CDa，则2,sintanhhCDaCBABa则，所以 12()2t
14、antanhShSaahah 设两腰与下底之和为l，则22cos2tansinsinShhSlaCBhhh 22212sin3sincos2222sincos2sincos2222SShhhh 31tan222tan2Shh 312tan3222tan2SShhhh 当且仅当31tan222tan2 时，上式取等号，即当3tan23时，上式取等号0030 ,602即，所以下角060时，梯形两腰及下底之和达到最小例 4. 如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC。问：点 B 在什么位置时，四边形 OACB 面积最大？解：设AOB，在AOB 中，由余弦定理得：2222cosABOAOBOA OBAOB 22122 1 2 cos54cos 于是，四边形 OACB 的面积为S=SAOB+ SABC213sin24OA OBAB132 1 sin(54cos)24
