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1、第 1 页 共 14 页是定义在上的正值函数，且对于定义域中任意两个实数，当( )f x(0,1(1)1f1x2x时，恒有，求证：121xx 1212()f xf xf xx（）的上增函数； f x(0,1（）对于任意，恒有成立(0,1x 2f xx证明证明：（）设任意，且设时，令，1x2(0,1x 1201xx21xx01则 21f xf x 11f xf x 11 ()( )f xff x 0f ，则在上增函数 21()f xf x f x(0,1（）假设存在，使得不成立，则成立0(0,1x 00()2f xx00()2f xx（i）若时，则，即与的01( ,12x 0122x00()21
2、f xx 0()1f xf f x上增函数矛盾(0,1（ii）若时，则，01 1( , 4 2x 001xx 00()(1)f xfx，04x 02 ()f x0()f x0(1)fx00(1)1f xx 则与矛盾01 4x 01 1( , 4 2x （iii）若（，） ，0111(,22kkx2k *kN0111 22kkx ，则1 011242kx11 00212kkxx 1 04 2kxA1 02 (2)kfx1 0(2)kfx1 0(12)kfx 11f 与约定条件矛盾 ，011 2kx0111(,22kkx因为时，总存在一个区间，使，(0,1)x111(,22kk111 22kkx*
3、kN 由（i） （ii） （iii）知不存在，使从而证明了对任意0x(0,100()f xx，恒有成立(0,1x 2f xx评注：证明抽象的函数问题时，应用反证法效果阿注意用词，恰当使用全称量词 “任意”和特称量词“存在” 设是区间上的实函数，如果满足 f x(0,1)（1）对于任意，；(0,1)x 0f x 第 2 页 共 14 页（2）对于任意，有试证：对于任意，x(0,1)y 121f xfxfyfyx都有成立(0,1)y f xfy证明：设任意，(0,1)x1(0,1)x对于任意，由（2）有：x(0,1)y令，则 121f xfxfyfy1xy 1yx 由上式得：， 2f xfyfyf
4、 x即，从而得，2( )( )0( )( )f xf y f yf x f xfy于是，当时，恒有，即条件（2）对任意，恒有1xy f xfy(0,1)x成立现证：对于任意，都有成立利用反证法， 1f xfxx(0,1)y f xfy假设存在，使得成立，不妨设，则，0x0(0,1)y 00()()f xf y00()()f xf y00()1()f x f y即故有这与条件（2）矛盾00(1)1(1)fx fy0000()(1)2()(1)f xfx f yfy所以，对于任意，都有成立x(0,1)y f xfy设，其中是实数，是任给的正整数， 12(1)lgxxxnn af xnan且2n （
5、1）如果当时有意义，求的取值范围； f x(,1x a（2）如果，证明：当时，(0,1a0x 22f xfx解：（1）设，则12xA (1)xxnn a121( )( )()xxxxnAnannn （，）在上是减函数( )xk n1k 21n(,1则 12(xAnnn11) (1)2xnannan第 3 页 共 14 页使得在上有意义的条件是 f x(,11(1)02na即的取值范围是a1 |(1)2a an （2）要证明，成立，只需要证明当时， 22f xfx(0,1a0x 2n ，其中，12x2(1)xxnn a212xn22(1)xxnnaA(0,1a0x 首先证明一个柯西不等式： ，恒
6、有，（，） ，tR2(1)0ka t kaR1k 2n即 因此，由于对都成立，则判别2 2210kka ta t 2 21120nnkk kka ta tnAtR 式即，取等号的条件是每个方程2114()40nnkk kkaa nAA2211()nnkk kkana有唯一解：（，） ，即时取等号2 2210kka ta t 1kta1k 2n12aana应用上面结论，当时，而，所以有：1a 0x 12x12x2(1)xxnn a212xn222(1)xxnnaA212xn（因为） ，即有，成立22(1)xxnnaA2aa 22f xfx(0,1a0x 已知函数的定义域为，对于任意实数，都有 f
7、 xR1x2x 121f xxf x 2f x，且1 21( )02f（）求； 1f（）求和 （） ； 12ff f n*nN（）若（为有理数集） ，试求函数的表达式（新作题） xQQ f x解：（）令得，；1x 2x1 2 11( )2ff111( )222f（）令（） ，由条件和（）的结论，得1xn*nN21x ， 1112f nf nf 1f n即 ，由等差数列定义知，数列构成等差数列， 11f nf n f n则； 12ff f n 111 12nfn nA21 2n第 4 页 共 14 页（） （i）若，由（）知， （ii）若时，*xN 111 122f xxxA0x 由得， （ii
8、i）若时，令（ 11 0102fff 1002fxZxn ） ，*nN则 ，得，即，所以 102ff xf n 112f xf nn 1 2f xx当时，得；xZ 1 2f xx若，令，且，则，而，xQpxqpZ*qNpqx 1 2fpp， fpf qx 112f qxfqxf x 12222fqxf x A 11112fqqxqf xqA 1112f xqf xqA， 11 22qf xq所以，因此，得， 111 222pqf xq 1 2pf xq故当时，函数的表达式为xQ f x 1 2f xx【解析】本题是依赖数集的发展脉络，先求出了为正整数的表达式，又求出了的表达xx 式，最后由有理
9、数的定义，求出了为有理数的函数表达式x已知函数，其中，均为实数，集合， 2f xxpxqpqx |Ax f xx若，则求集合 |Bx ff xx 1,3A B由集合及，得 |Ax f xx 1,3A 比较同次幂的系数，得，2(1)(1)(3)xpxqxxx1p 3q 由此可知集合的元素是方程 ff x 22(3)xx233xxB即的根22(3)xx233xxx22(3)(3)0xxx所以， 3, 3, 1,3B 事实上，对于，则xA xBAB第 5 页 共 14 页已知集合（）至多只有一个真子集，求的取值范围2 |210Ax axx aRa解题分析：解题分析：至多只有一个真子集的集合有两种情况
10、，其一是没有真子集；其二只有一个真 子集，必须按分类讨论进行 解析解析：因为集合 A 至多只有一个真子集，则集合 A 可能没有真子集，可能只有一个真子集， 故必须分两种情形进行讨论（i）当 A 没有真子集时，即，因此，关于的方程没有实数解，Ax2210axx ，且，所以；0a 440a1a （ii）当只有一个真子集时，即 A 为单元集，这时也有两种情形：A 时，所以，0a 440a1a 时，原方程化为一次方程， 0a 210x 1 2x 所以当或时，A 为单元集1a 0a 综合（i） （ii）可得，实数的取值范围是或a0a 1a 点津点津：正确理解真子集的概念，考虑二次方程的判别式后，还必须考
11、虑含参数的二0 次项系数为零的情形参数的求值问题要根据不同的题目要求，对可能出现的情形进行分 类讨论分类讨论时需特别考虑问题全面、有序、尽量避免疏漏对于函数，若，使成立，则称为函数的不动点已知函数 f x0xR00()f xx0x f x（） f x 2ax(1)bx(1)b0a （1（当，时，求函数的不动点；1a 2b f x（2（若对，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；bR f xa（3（在（2）的条件下，若图像上 A，B 两点的横坐标是函数的不动点，( )yf x f x且 A，B 两点关于直线对称，求的最小值21 21ykxab解析解析：（1）当，时，依不动点定义，得1a 2
12、b 23f xxx，解之，23xxx11x 23x 故 当，时，函数的不动点是或；1a 2b f x13（2）因为 恒有两个不动点，依不动点定义， f x 2ax(1)bx(1)b得，即恒有两个不同的实数解，2ax(1)(1)bxbx2ax(1)0bxb则有 对于均成立，于是，得，A2440bababR 216160aaA01a故 对，恒有两个相异的不动点，实数的取值范围为；bR f xa01a第 6 页 共 14 页（3）依不动点的定义，A，B 两点应在直线上，设，yx11( ,)A x x22(,)B x x 点 A，B 关于直线对称， ，21 21ykxa1k 设 AB 的中点为，又因为，是方程的根，( ,)M x y1x2x2ax(1)0bxb 由于点 M 在直线上，得xy12 2xx2b a21 21yxa ，解之：，21 2221bb aaa221aba 1 12aa 由于，所以，取等号条件为01a122 2aa2 2a 故 当时，的最小值为2 2a b2 4已知，函数0a 2f xaxbx（1）当时，若对任意都有，证明：；0b xR 1f x 2ab（2）当时，证明：对任意，的充要条件是；1b 0,1x 1f x 1b 2ab（3）当时，讨论：对任意，的充要条件01b0,1x 1f x （1）证
