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1、数值计算基础实验指导书2010 年目录实验一 直接法解线性方程组的 . 3 实验二 插值方法. 12 实验三 数值积分. 6 实验四 常微分方程的数值解 . 8 实验五 迭代法解线性方程组与非线性方程 . 10bb实验一 直接法解线性方程组一、实验目的掌握全选主元消去法与高斯-塞德尔法解线性方程组。二、实验内容分别写出 Guass 列选主元消去法与追赶法的算法， 编写程序上机调试出结果， 要求所编 程序适用于任何一解线性方程组问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以 下列数据验证程序的正确性。1、用 Guass 列选主元消去法求解方程组2.52.3 5.1x1 3.7 5.39.6
2、1.5 x 3.8 8.11.7 4.3 2 x3 5.52、用追赶法求解方程组 20000 x1 10 1 2000 x 0 2 01 200 x3 0 001 20 x4 0 0001 2x50三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理1、Guass 列选主元消去法对于 AX =B A B 是上三角矩阵。即：1） 、消元过程：将（A|B）进行变换为 ( | ) ，其中 Aaaab 1aab 1112 1n1 12 1n1 a21 a22 a2 nb2 01a2 nb2 an1an 2annn 00annn k 从 1 到 n-1 a、 列选主元选取第 k 列中绝对值最大元素 max
3、aik k in作为主元。b、 换行33 f akjbkc、 归一化 aij , j k 1, n bid、 消元akj / akkbk / akk akj , j k 1, n bkaij aik akj aij , i k 1, n; j k 1, n bi aik bk bi , i k 1, n2） 、回代过程：由 ( | ) 解出 x , x, x 。A Bbn / ann xn nn n11bk akj x j xk , k n 1,2,1j k 12、追赶法线性方程组为： ac x f 111 1 b2 a2c2 b3a3c3 x2 x f 2 f bn 1 an 1cn1 x
4、n1 n1bnan xn f n 做 LU 分解为： 1 11 2 2 1 2 L 33, R 1n1 n n 1 分解公式：yiy a ii(i 2,3, n)1 b1 , i bi i i 1(i 2,3, n) ci i(i 1,2, n 1)则Ax f LUx fLy f Ux y回代公式：f1 1 i1 f i i yi 1 i(i 2,3, n)xn ynxi yi i xi 1(i n 1, n 2,1)五、实验步骤1、理解并掌握全选主元消去法与高斯-塞德尔迭代法公式；2、画出全选主元消去法与高斯-塞德尔迭代法的流程图3、使用 C 语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要
5、求1、统一使用武汉科技大学实验报告本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、 实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。七、实验注意事项注意如何定义数据结构以保存矩阵和解以降低算法的复杂性。八、思考题若使用全主元消去法，在编程中应如何记录保存对于未知数的调换。k实验二 插值方法一、实验目的掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。二、实验内容分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法， 编写程序上机调试出结果， 要求所编程 序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问
6、题。实验中以下列数据 验证程序的正确性。已知下列函数表xi0.561600.562800.564010.56521yi0.827410.826590.825770.82495求 x=0.5635 时的函数值。三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理已知 n 个插值节点的函数值， 则可由拉格郎日插值公式与牛顿插值公式构造出插值多项 式，从而由该插值多项式求出所要求点的函数值。拉格郎日插值公式与牛顿插值公式如下：1、Lagrange 插值公式n Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 . ln ( x) yn yk lk ( x)k 0( x x)(x x )( x x
7、)(x x)( x x )n x xl ( x) 0 1 k 1 k 1 n j k ( x x0 )(xk x1 )( xk xk 1)(xk xk 1)( xk xn )j 0 j kxk x j2、Newton 插值公式N n ( x) f ( x0 ) f x0 , x1 (x x0 ) f x0 , x1 , x2 (x x0 )(x x1 ) f x0 , x1 , xn (x x0 )(x x1 )( x xn1 )五、实验步骤1、理解并掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法的公式；2、画出拉格郎日插值法与牛顿插值法算法的流程图；3、使用 C 语言编写出相应的程序并调试验证通过。六、实验
8、报告要求1、统一使用武汉科技大学实验报告本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。七、实验注意事项Newton 插值法在编程时应注意定义何种数据结构以保存差商。八、思考题比较 Lagrange 插值法与 Newton 插值法的异同。 2实验三 数值积分一、实验目的掌握复化梯形法与龙贝格法计算定积分。二、实验内容分别写出变步长梯形法与 Romberge 法计算定积分的算法，编写程序上机调试出结果， 要求所编程序适用于任何类型的定积分，即能解决这一
9、类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。求 1sin x dx, 0.00001 。0 x三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理通过变步长梯形法与龙贝格法， 我们只要知道已知 n 个求积节点的函数值， 则可由相应 的公式求出该函数的积分值， 从而不需要求该函数的原函数。 变步长梯形法与龙贝格法公式 如下：1、变步长梯形法n1 h Tn f ( xi ) f ( xi 1 )i 0 hn1 f (a) 2 f ( xi ) f (b)2i 11 h n1T2 n Tn f ( xi 1 / 2 )2 2 i 0用 T2n Tn 来控制精度2、龙贝格法1h n1T2
10、n Tn f ( xi 1 / 2 )2 2 i 0S n 4 1T2n Tn3 3Cn 16 1S 2n S n15 15 64 1Rn C2n Cn63 63用 R2n Rn 来控制精度五、实验步骤1、理解并掌握变步长梯形法与龙贝格法的公式；2、画出变步长梯形法与龙贝格法的流程图3、使用 C 语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用武汉科技大学实验报告本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、 实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。七、实验注意事项1 si
11、n x在 0 x的定义。dx 积分中，被积函数在 x=0 点函数值为 1，对该点在程序设计中应注意对其八、思考题使用复化梯形法与复化 Simpson 法来计算该问题有何缺点？实验四 常微分方程的数值解一、实验目的掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。二、实验内容分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果，要求所 编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题， 即能解决这一类问题， 而不是某一个问题。 实验中以下列数据验证程序的正确性。y xy 2 求 y(0) 2(0 x 5)步长 h=0.25。三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理常微
12、分方程的数值解主要采用“步进式” ，即求解过程顺着节点排列次序一步一步向前 推进，在单步法中改进欧拉法和四阶龙格-库塔法公式如下：1、改进欧拉法yn1 yn hf (xn , yn )yn1 yn h f ( x2 n, yn) f ( xn1, yn1 )2、四阶龙格-库塔法h yn 1 yn 6 (k1 2k 2 2k3 k 4 ) k1 k 2 f ( xn , yn )f ( x hn2 h, yn hk1 )2 h k3 k 4 f ( xn , yn k 2 )22 f ( xn h, yn hk3 )五、实验步骤1、理解并掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的公式；2、画出改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的流程图3、使用 C 语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用武汉科技大学实验报告本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。七、实验注意事项y xy 2 y(0) 2精度的变化八、思考题(0 x 5)的精确解为 y 2 /(1 x 2 ) ，通过调整步长，观察结果的如何对四阶龙格-库塔法进行改进，以保证结果的精度。x实验五 迭代法解线性方程组与非线性方程一、实验目的掌握
