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1、竞赛模拟试题 32一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1在直角坐标平面中，由不等式xOy10010022 10010011,100yxxyyx所限定的图形面积为（ ）.( )A50( )B40( )C30()D202圆台的两底面半径分别为和，平行于底面的截面将圆台的侧面分Rr ()Rr成面积相等的两个部分，那么截面圆的半径是（ ）.以上答案都不对( )A2Rr( )BRr( )C222Rr()D3如果关于的方程至少有一个模等于 1 的根，那么实数x22230xaxaa的值有（ ）个.a1 个 2 个 3 个 4 个( )A( )B( )C()D4已知正实数，以及某个自然数，满足条件
2、：, a b(1)n n ，21,3nnaabba则的大小关系是（ ）, a b( )A1ab( )B10ab ( )C1ba()D01ab5若的展开式为，则100421xx22008 0122007aa xa xax的值为（ ）.032007aaa( )A20083( )B20073( )C10043()D100336方程的所有正整数解的组数是（ ）.20082007xy1 3 5 7( )A( )B( )C()D二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7设，函数在上是增函数，则的取值范围0,1aa2( )logaf xaxx3,4a是 .8已知正三棱锥的侧棱长为,点在平面内的射影恰
3、为的垂心,PABCaAPBCPBC则三棱锥的体积的最大值为 .PABC9满足的锐角 .22sinsinsin23cosxxxxx10设函数满足，则 .( )f x1()( )21fx f xx(3)f11设，且，则抛物线被轴截得的弦长abc0abc22yaxbxcx的取值范围是 .12有 个六位数，其中每一个中的任何一个数字均至少出现两次.三、解答题（每题 20 分，共 60 分）13过点作斜率为的直线交抛物线于两点，( ,0)(0)E aa k22(0)ypx p,A B分别过点作抛物线的切线，两切线相交于点，,A BM求证：的取值与无关.MAMBMEkk Kk14设是所有形如，且当时满M3
4、2( )p xaxbxcxd, , ,a b c dR1,1x 足的多项式的集合.( )1p x 求证：必有某一个数，使得对所有的，都有，并求最小的.k( )p xMakk15. 已知函数，数列满足，且（） ，21 1( )xf xx na11a 1()nnaf aRn记数列的前项和为. nannS（1）求证：； （2）求数列的通项公式.2nS na 全国高中数学联赛全真模拟题一加试一、 （本题满分 50 分）如图，将圆内接四边形的对边ABCD与,与分别延长交于、，BACDBCADPQ又对角线与交于,为圆心，为ACBDMOR半径.(1)求证：；22222PQPOQOR(2)过作圆的切线,切点为
5、,则、三点共线.PONQMN二、 （本题满分 50 分）已知实数，试求函数, ,0a b c 2222222111( , , )f a b cabcabbcca的最小值.三、 （本题满分 50 分）一次数学竞赛共有道试题，考试的结果是每道题恰有 4 个学(3)n n 生解出，且任意两题均恰有 1 个学生同时解出.试求 的最小值,使n得总有一个学生解出全部题目. 全国高中数学联赛全真模拟题一加试解答（2007 年 10 月 1 日 10：0012：00）NM PQAOBCD一、 （本题满分 50 分）如图，将圆内接四边形的对边与,ABCDBACD与分别延长交于、，又对角线与交BCADPQACBD
6、于,为圆心，为半径.MOR(1)求证：；22222PQPOQOR(2)过作圆的切线,切点为,则、三PONQMN点共线. 证明：(1)与延长线交于点，BACDP，90AQPBAD 故线段上存在一点 E,使得，也即PQPEDDAB P，A，D，E 四点共圆，从而10 分QE QPQD QA又，则 Q，C，D，E 四点也QCDQABPED 共圆，从而 20PE PQPD PC分两式相加，得2PQQD QAPD PC由圆幂定理，有，22QD QAQOR22PD PCPOR故.30 分22222PQPOQOR(2)三、 （本题满分 50 分）一次数学竞赛共有道试题，考试的结果是每道题恰有 4(3)n n
7、 个学生解出，且任意两题均恰有 1 个学生同时解出.试求 的最小值,使得总有一个学生解出全部题目.n解：题目编号为 1,2,n,记全体学生的集合为 A.由(2),A 有 n 个4 元子集 A1,A2,An (Ai的 4 个学生解出第 i 题).由(3),每两个不同的Ai有且只有 1 个公共元.10 分NM PQAOBCDFENMPQAOBC D若有一个学生 a 属于 5 个子集 Ai(不妨设是 A1,A2,A3,A4,A5),则 a必属于所有 Ai,即他解出全部题目(反设有另一子集 Aj不含 a,则 Aj应与 A1,A2,A3,A4,A5各有一个不同于 a 的公共元,这 5 个公共元互不相同,得出|Aj|5,矛盾).20 分当 n14 时,A1Ai (i2)不少于 13 个,故必有一个 aA1至少属于 5 个子集,从而属于所有 Ai.30 分3n13 时可按下表取适当的 n 列,满足题给条件但无人解出全部题目.故 n 的最小值是 14.50 分123456789101 11213a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13
