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1、协方差矩阵未知的多试协方差矩阵未知的多试 验结果的合并验结果的合并马维虎协方差矩阵已知的参数估计 在N个观测点X1，X2，XN，通过测量得到 一组观测值Y1，Y2，YN，相应的观测真 值为未知。假定存在某个理论模型，可预 测与点Xi相对应的观测真值i，i=f（1，L；Xi），LN, （1）该参数与估计的未知参数 =1，L有关。协方差矩阵已知的参数估计 如果Yi 的各次观测之间是相关联的，其方 差和协方差由对称协方差矩阵 V(Y)给出， 那么找到未知参数的最优估计值的最小二 乘原理是使下述Q2达到极小：（2）协方差矩阵已知的参数估计 如果Yi 的各次观测之间是无关联的，协方 差矩阵 V(Y)已知
2、且其非对角元为零。 Q2表达式为：（3）协方差矩阵已知的参数估计 如果观测值服从正态分布，Q2的极小值 Q2min在一定条件下是一个2变量，故可根 据2分布的性质对观测值和理论模型进行 统计推断。 然而，实际存在只知道Y Y Y Y的数值及不同测量 值Yi之间存在相互关联，协方差矩阵 V(Y) 并不确切知道或无法定量确定的情况。协方差矩阵未知的参数估计 讨论一种简单的情形：假定N个实验对同一 物理量进行测量得到N个测量值Yii （i=1，N）。 我们的问题是如何从这N个测量结果求得物 理量及其误差的合并估计。 观测值的真值是一个数值而不是矢量，本 身就是待估计参数。协方差矩阵未知的参数估计 这
3、种情况下的最优估计使得量 达到极小来求得，其解为 方差为 若协方差已知，据此可求得物理量及其方差。)(1)()( 112= =YVYQiijNiNji1 1,11,1 )()(YVVjNjiijNjiij = = )( 1,112 =NjiijV（3）（4）（5）协方差矩阵未知的参数估计 当N次测量结果相互独立、不相关联时：=NiiiYQ 122)()(2121111iiNiiNiiNiiiwwwYw=（8）（9）（7）（6）协方差矩阵未知的参数估计 假定测量Yi是期望值，方差 的正态变 量，（6）式表示的Q2是N-1个独立标准正 态变量的平方和，是自由度N-1的2变 量，E =N-1。 在此
4、假设下， 的值与自由度N-1的差异 可以反映不同测量值之间的关联程度。接近N-1时个测量值之间近似相互独立。反 之则可能是各测量报告的误差不精确，或 个测量量之间存在不可忽略的相互关联。 2)(2 Q)(2 Q)(2 Q协方差矩阵未知的参数估计 在多次测量存在关联的情况下（7）式求得 的参数估计值不一定是最优估计，但任然 是的一个无偏估计。 由于在协方差矩阵未知时无法用（4）求得 精确估计，任用（7）计算的估计值 。 以下介绍多次测量存在关联，协方差矩阵 未知条件下方差 的估计方法。2 协方差矩阵未知的参数估计 当 N-1时，对应于多次测量值之间存 在负关联，即协方差矩阵非对角元为负值。 相关
5、文献建议定义标度因子f； 将（9）式中的 用 代替求得 这相当于原来的方差增大了f倍，是一种保 守估计。)(2 Q12= NfQ2i2if（10）2 协方差矩阵未知的参数估计 当 N-1时，对应于多次测量值之间存 在正关联，即协方差矩阵非对角元为正值。 相关文献建议的处理方法是建立一个等效 协方差矩阵C，其矩阵元为f为正常数，由下试求得：)(2 Q2iiiC=NjijifjiijC, 1,;,=11)( )()()( ,2=NfCYYijiNjii（11）协方差矩阵未知的参数估计 由此可求得估计量 的方差为： 当f=0，Cij=0(ij), 式（12）恢复到N次独立测量情况下的表达 式（8）。（12）)( 121,2 = = NiiwCwwNjiijji =NiiiiNiiNjiijjiwCwCww 1121,协方差矩阵未知的参数估计 需要注意的是满足 E2 N-1的2 不一 定存在，特别是当自由度小的情况下，不 加条件的使用这种方法，会使方差的估计 值偏大。2121111iiNiiNiiNiiiwwwYw=)( 121,2 = = NiiwCwwNjiijji 12= NfQ协方差矩阵未知的参数估计谢谢！
