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1、辅教 导学 数学通讯 2 O 1 3年第 3期( 上 半月) 7 柯西不等式的变式及应用 聂文喜 ( 湖北省广水 市第 一中学 ， 4 3 2 7 0 0 ) 人 教 A 版 选修 4 5 “ 不等 式选 讲”第 4 1页 习题 3 2第 6 题 ： 设 1 ， z 2 ， ， z R r ， 且 X 1 +z 2 + +z 一 ，她 禹 + 禹 矗 由于学生刚学 习了柯西不等式 ， 因此 ， 很 自然 地想到用柯西不等式证 明， 但大多数学生不知道 如何将 不 等式 的左 边 化 为柯 西 不 等 式 的 形 式 ， 由 于不等 式左 边 的分母 和 为定值 ( 1 + z 。 + 1 +
2、z 。 + +1 +z 一 +1 ) ， 联想到求分式型不等式最值 的一个常见方法 ： 乘“ 1 ” 法 ， 便可打开思维大门 证 明 + 惫 + + 惫 一 c + ( 1 +z 。 ) + ( 1 +z 2 ) + + ( 1 +z 2 ) 鲁 + 高+ + _ ) 1+ z 1 一 故 原 不等式 成 立 采用类 似 的方 法 ， 可 以证 明如下 更 一 般 的 结 论 结论 若 t 0 ， Y 0 ， i 一 1 ， 2 ， ， ， 则 生+三 呈 +xA ! ， 当且 仅 当 一 X 2 一 时 等号 成立 1 Yz Y一 这个 结 论 可 以 看 作 是 柯 西 不 等 式 的
3、一 个 变 式 ， 下面介 绍 它在 四个 方面 的应用 一、求最值 例 1 ( 2 0 l 1 年 重庆 卷理 )已知 0 ， b 0 ， 日 +b一 2 ， 则 一 + 7 7的最小值为 ( ) ( A ) ( c) ( B) 4 ( D) 5 解 利用前面介绍的结论可得 ： + 去 孚一 9 ， 当 且 仅 当 丢 一 吾 时 等 号 成 立 ， 故选 ( C ) 例 2( 2 O L O年 四川卷 理)设 口 b c 0 ， 则 一 2 n 。 + 1+ 一l O 口 +2 5 c 。 的最小值 为 ( ) ( A) 2 ( B) 4 ( 2 ( D) 5 解 n 。 + + 圭 +(
4、 n 一5 c ) 。 n 口 一D 抖 + 抖 =口 +击 4 ， 当且仅当 口一 5 f ， 1一 ， = ， 即 口 口一D 口一 口一 2 b一 5 c= 时等号 成立 故 选 ( B ) 例 3 已知 n ， 6 ， c o ， 且 n +2 6 +f 一 1 ， 则 + 1十 1 的最小 值是 解 利 用前 面介 绍 的结论可 得 1十 百1 十 1 = 芸 + + 口 O C 口 厶 o C 一 6+4 ， 一 1 ，0 当且仅 当 = 一 i ， 即 n c一 时等 号 成立 二 、 证明 不等式 例 4 ( 2 0 1 2年 福建 卷 理 2 1 ( 3 ) )已知 函数 厂
5、 ( )一 ml z一2 l ， m R， 且 f ( x+ 2 ) 0 的 解集为 一 1 ， 1 (I) 求 的值 ； ( 11 ) 若 n ， b ， c ， 且 丢 + + 一 ， 求 证 ： n+ 2 b+ 3 c 9 8 数学通讯2 O 1 3年 第 3期 ( 上半月) 辅教导学 解 ( I) 因 为 f ( x+2 ) 一 mI x l 0 ， 所 以 1 X I m， 所 以 m 0 ， 一m z W t ， 而 f ( x+2 ) 0的解集为 一 1 ， 1 ， 所以 irY t 一 1 ( I I ) 利用前面介绍的结论可得 1一一 1+ 1+ 等一 ， 故 口 + 2 b
6、 + 3 c 3 c ， 口 + 2 6 + 3 c 口 + 2 6 + 3 c “ ， 9 例 5( 2 0 1 0年浙江高考 白选模块第 3题) 设 正实数 口 ， b ， c满足 口 b c 1 ， 求 + 5 2 + 的最小值 解 因为 n ， b ， c 是正 实数 ， 所 以 + 2_ + 口+ 2 b b+ 2 c C- + - 2 a ( n+b+ c ) 半 1 ， 当且仅当 n= b c= 1时， 等号成立 ， 所 以 + + 的最小值为 1 例 6( 2 0 1 1 年浙江高考 自选模块第 3题)设 正数 z ， Y ， z满足 2 z+2 +z= 1 ( 1 )求 3
7、x y十 y z+ 盟 的最 大值 ； ( 2 ) 南 + + i 十 V 1 十 v z 1 十 搿 O 解 ( 1 )利用条 件 ， 在 待求式 中消去 z ， 得 3 x y+ y z+ 一 3 x y+ ( z+ )一 2 ( x+ 3 ， ) ( z +y ) 十( + ) 一2 ( +y ) 。 一一丢 ( z 十 ) 一 号 + ， 当 X Yz一 喜 时， 3 x y+y z+ 取得最 大值为 ( 2 ) 由( 1 ) 知3 x y +y z +Z X， 可将不等式 左边 变形 后利 用前 面介绍 的结论 得 1+ x y 1+ y z 1+ 一 ： 上 3+ 3 x y 。1
8、+ y z 1+ 搿 、 ( 3十 1+ 1 ) ， ( 3+ 3 x y)+ ( 1+ y z )+ ( 1+ z r) 2 5 、1 2 5 一5 ( 3 x y y z z x) 故 原 不等式 得证 例 7( 武汉市 2 0 1 2年高考答题适应性训练 理科第 2 2题)没 函数 -厂 ( z )一 z一 ( z+ 1 ) l n ( x+ 1) ( 一 1 ) ( 1 ) 求 厂 ( )的单调 区间； ( 2 ) 证 明： 当 m 0时 ， ( 1 + n ) 2 0 1 2 ， 且 z 1 ， 2 ， ， R +， 1+ 2 + + z 一 1时 ， c + 志 ) 壶 证 明 (
9、 1 ) 、 ( 2 )略 ( 3 )由前面介绍的结论可得 X z ； 。 z ： 一- - - t - - 一 1+ z1 1十 X 2 。1+ z ( 1+X2 + + X ) 。 1+ X l+ 1+ X 2 + + 1十 X 1 一 又 ， z 2 0 1 2 ， 由( 2 )的结果 可知 ( 1+ ) ( ) ， + 惫 + + ) 告 ( ) ( ) ， 故 原 不等式 成立 例 8( 华 中师 大一 附 中 2 0 1 2届 高 中毕业 生 五 月适应 性考 试理 2 2 ( 3 ) ) 若 n 0 ， b 0 ， C 0 ， 且 口+ b+ c一 1 ， 证 明 ： 南+ b
10、+ 南 旦1 0 1 + 口 。 1 +。 1 + c 。 证 明 南+ + 南 _鲁 - + 1 十 n ) 。 可8 十 1b + 6 ) n + 南 a十 b 9 3 9 3 一! 上 上 6 口+ 8 6b+ 8 。 9 口+ 1 2 1 2 9 6 + 1 2 1 2 9 c + 1 2 1 2 6 n+ 8 。 6 6 十 8 6 c + 8 一旦2 _ 6 ( + 十 ) 一三 一 6 + 丽 寺 十 ) 9 6 ( 1+ 1 + 1 ) 。 2 3 a+ 4+ 3 b+ 4+ 3 c + 4 一 + 一 辅教 导学 数学通讯 2 O 1 3年第 3期( 上半月) 9 一旦 一
11、一 2 1 5 i 0 例 9 ( ( 2 0 0 8 年 高 考 陕西 卷理 2 2 ( 3 ) )已知 数列 口 ) 的首项 一 3， 口计一 ， 一 1， 2， 证 明 ： n + a z + + 口 证明 易求得 n = ， 1= 1 + 2 ， + + + ： + ( 11 卜寺 一 + 1一 ( ， 由前 面介 绍 的结论 可得 n 1 +口 2 + +口 = T 1十 T 1+ +T 1 一 ， 故原不等式成立 例 1 0( 2 0 1 0 年湖北省竞赛题) 若 z 0 ， 0 熹 t+ t+ 未 t 学 z z z 互 证明 由前 面介绍 的结论 可得 + + 鲁 一兰 兰 三
12、 、 求值 例 I I ( 第 3 届“ 希望杯” 赛题)已知 a 、 口 为锐 角， 且 + 一1 ， 求证： a + 一詈 s m C O S Z 证 明 由前 面介 绍 的结论 可得 一 + 端 当且 仅 当 s i n C O嚣S ， 即c 。 s a c 。 一 。 s i n a s i n fl ， C O S ( +卢 )= 0时等号成立 又 a 、 卢为锐 角 ， 故 口 + 卢一 9 四、 求参数 范 围 例 1 2 已知不等式 ( z+ ) ( +旦) 9 对 ， 0恒成立 ， 求正数 口的取值范围 解 由前面介 绍 的结论 可得 ( z+ ) ( + 旦) ( + )
13、正 z 一( 2 + n ) ， 2 + 3 ， 所 以 口 1 ， 故正数 n的取值范围为 1 ， +o o ) 例 1 3 设 蛆 + 恒 成立 ， 则 m 的取 值范 围是 解 由前面介绍的结论可得 1 1 、 ( 1+ 1 ) 0 4 a -b十 b-c a - C 土 ， 故 4 ( 收稿 日期 ： 2 0 1 2 0 9 1 3 ) 高中数学题组训练与测试 征订启事 为配合 2 0 1 3 届高三学生的高考复习， 我刊精心组织编写了 高 中数学题组训练与测试 ( 2 0 1 3 版) ， 其 内容包括 四大部分 ： 第一部分为“ 客观题训练与测试” ； 第二部分为“ 主观题专题训练
14、与测试” ； 第三部分为 “ 主观题综合训练与测试” ； 第四部分为所有测试题的详细解答 高中数学题组训练与测试 ( 2 0 1 3版) 每本定价 3 0元 ， 购 1 9 本另收邮寄费 1 O元， 购 1 O 本 以上免 收邮寄费， 一次购 3 O本 以上 ， 优惠 1 0 ， 多购多优惠。 需要者请将款从邮局汇至“ 4 3 0 0 7 9 ( 邮编) 武汉华中师范大学 数学通讯 编辑部 徐胜林 收” ， 请 在汇款单附言栏内注明“ 购题组 本” 。 购书 联 系电话 ： 0 2 7 6 7 8 6 7 4 5 4 ( 张老 师) ， 1 3 8 7 1 0 2 8 8 5 3 ( 徐 老师 ) 。 数学 通讯 编辑部 2 O 1 3年 2月 2 0日
