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1、范例范例14.6 一维无限深势阱中的粒子的波函数一维无限深势阱中的粒子的波函数 如图所示，有一质量为如图所示，有一质量为m的粒子的粒子 在一维势阱中运动，势函数为在一维势阱中运动，势函数为 由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维 无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。 解析解析由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外， 所以定态波函数所以定态波函数(x) = 0 (x
2、a，x 0)。 粒子在阱内定戊波函粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为数的薛定谔方程为 (0 x a) 0(0)( )(0)xaV xxxa或222d02dEmxhO a x 设设 2/kmEh方程可方程可 简化为简化为 2 2 2d0dkx其通解为其通解为(x) = Asinkx + Bcoskx， 由于波函数是连续的，在由于波函数是连续的，在x = 0处有处有(0) = 0，所以，所以B = 0。 波函数为波函数为(x) = Asinkx。 范例范例14.6 一维无限深势阱中的粒子的波函数一维无限深势阱中的粒子的波函数 如图所示，有一质量为如图所示，有一质量为m的粒子的粒子 在一维势阱中运
3、动，势函数为在一维势阱中运动，势函数为 由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维 无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。 在在x = a处也有处也有(a) = 0，所以，所以Asinka = 0， 由于由于A不恒为零，所以不恒为零，所以ka = n。 k只能取不连续的值，用只能取不连续的值，用kn表示，则表示，则 kn = n/a (n = 1，2，3，) 0(0)( )(0)xaV xxxa或O a x 可可 得得 (n = 1，2，3，) n称为量子数。称为量子数。 要使问题有解，粒子的能
4、量只能取分立的值，要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值， 或者说能量是量子化的，或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。称为能量的本征值。 (x) = Asinkx 2222 2 2 22n nkEnmmahhn = 1状态称为基态，也就是粒子状态称为基态，也就是粒子 能量最低的状态，最低能量为能量最低的状态，最低能量为 22212228hEmamah其他态称其他态称 为激发态，为激发态， E2称为第称为第 一激发态一激发态。 范例范例14.6 一维无限深势阱中的粒子的波函数一维无限深势阱中的粒子的波函数 能量能量En对应对应 的波函数为的波函数为 不同的能级不同的能级 具有不同的具有不
5、同的 波函数。波函数。 (n = 1，2，3，) (0 x a) 根据归一化条件根据归一化条件 (x) = Asinkx， 2222 2 2 22n nkEnmmahh可得可得 ( )sinnnxAk x2| d1nx220sindanAx xa22012(1 cos)d122anaAxxAa因此因此 2/Aa可见：波函数的归一化常数与能级的级可见：波函数的归一化常数与能级的级 次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。 波函波函 数为数为 2( )sinnnxxaa概率密概率密 度为度为 222|( )|sinnnxxaa可见：粒子在势阱中出现可见：粒子在势阱中
6、出现 的概率因地而异，在阱壁的概率因地而异，在阱壁 处的概率为零；概率密度处的概率为零；概率密度 分布还随量子数改变。分布还随量子数改变。 这些结果与经典力学根本这些结果与经典力学根本 不同，按照经典力学的观不同，按照经典力学的观 点，粒子在势阱内各处出点，粒子在势阱内各处出 现的概率应该相等现的概率应该相等。 sinnAxa能级个能级个 数不妨数不妨 取取4。 一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。 在两壁处，波函数恒为零。在两壁处，波函数恒为零。 量子数量子数n也是波腹的个数，也是波腹的个数， 波腹之间有波腹之间有n - 1个波节。个波节。 粒子的波函数的模方就是概粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。率密度，其高度表示能级。 在两壁处，概率密度恒为零，在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。表示此处不会出现粒子。 当量子数当量子数n = 1时，中间出现粒子的概时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数率密度最大；当量子数n = 2时，有两时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大个地方出现粒子的概率密度最大。
