《概率论与数理统计》课后习题答案1

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1、1习题习题 1.11.11.11.1解答解答1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件CBA,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件CBA,中的样本点。 解：解：=( ( ( (正，正正，正) ) ) )，（正，反），（反，正），（反，反），（正，反），（反，正），（反，反） =A( ( ( (正，正正，正) ) ) )，（正，反），（正，反）；=B（正，正），（反，反）（正，正），（反，反） =C( ( ( (正，正正，正) ) ) )，（正，反），（反，正），（正，反），（反，正）2.在掷两颗骰子的试验中，事件DCBA,分别表示“点数之和为偶数”

2、，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件DCBABCCABAAB+,中的样本点。解：解：)6 , 6(,),2 , 6(),1 , 6(,),6 , 2(,),2, 2(),1 , 2(),6 , 1(,),2, 1(),1 , 1(=； )1 , 3(),2, 2(),3 , 1(),1 , 1(=AB； )1 , 2(),2 , 1(),6 , 6(),4 , 6(),2, 6(,),5 , 1(),3 , 1(),1 , 1(=+BA； =CA；)2, 2(),1 , 1(=BC； )4 , 6(),2 , 6(),1 , 5(),6 , 4

3、(),2 , 4(),6 , 2(),4 , 2(),5 , 1(=DCBA3.以CBA,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用CBA,表示以下事件： （1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报； （3）只订一种报；（4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（解：（1 1 1 1）CBA；（2 2 2 2）CAB；（3 3 3 3）CBACBACBA+；（4 4 4 4）BCACBACAB+; ; ; ;（5 5 5 5）CBA+； （6 6 6 6）CBA； （7 7 7 7）CBACBA

4、CBACBA+或或CBCABA+ （8 8 8 8）ABC； （9 9 9 9）CBA+4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,AAA分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A,32AA+,21AA,21AA+,321AAA,313221AAAAAA+. . . . 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5.设事件CBA,满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：CBA+，CAB+，ACB. . . .解：解：如图：2BCACBCABABBCACBACABA

5、CBCCABCABCBACBABCAABCCABCBACBACBA+=+=+=+=+=+;6.若事件CBA,满足CBCA+=+，试问BA=是否成立？举例说明。 解：解：不一定成立。例如：5 , 4 , 3=A， 3=B，5 , 4=C， 那么，CBCA+=+，但BA。 7.对于事件CBA,，试问CBACBA+=)()(是否成立？举例说明。解：解：不一定成立。 例如：5 , 4 , 3=A，6 , 5 , 4=B，7 , 6=C，那么 3)(=CBA，但是7 , 6 , 3)(=+CBA。8.设31)(=AP，21)(=BP，试就以下三种情况分别求)(ABP：（1）=AB，（2）BA，（3）81

6、)(=ABP. . . .解：解：（1 1 1 1）21)()()()(=ABPBPABBPABP；（2 2 2 2）61)()()()(=APBPABPABP；（3 3 3 3）83 81 21)()()()(=ABPBPABBPABP。9.已知41)()()(=CPBPAP，161)()(=BCPACP，0)(=ABP求事件CBA,全不发生的概率。CBACBACBAABC BCACABCBAABCCBA3解：解：()(1)(CBAPCBAPCBAP+=+= = = =)()()()()()()(1ABCPBCPACPABPCPBPAP+830161 161041 41 411= +=10.

7、每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A“三个都是红灯”=“全红”；=B“全绿”；=C“全黄”；=D“无红”；=E“无绿”；=F“三次颜色相同”；=G“颜色全不相同”；=H“颜色不全相同”。 解：解：271 333111)()()(=CPBPAP；278 333222)()(=EPDP；91 271 271 271)(=+=FP；92 333!3)(=GP；98 911)(1)(=FPHP.11.设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2件次品，从中任意抽取 3件（分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1件，取后放回拿 3

8、次；每次拿 1件，取后不放回拿3次），试求：（1）取出的 3件中恰有 1件是次品的概率；（2）取出的 3件中至少有 1 件是次品的概率。 解：解： 一次拿 3 件：（1 1 1 1）0588. 03 1001 22 98=CCCP； （2 2 2 2）0594. 03 1001 982 22 981 2=+=CCCCCP；每次拿一件，取后放回，拿 3 次：（1 1 1 1）0576. 0310098232 =P；（2 2 2 2）0588. 010098133 =P；每次拿一件，取后不放回，拿 3 次：（1 1 1 1）0588. 03989910097982=P；（2 2 2 2）0594.

9、 098991009697981=P12.从9 , 2 , 1 , 0中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率：501与三个数字中不含=A，502或三个数字中不含=A。4解：解：157)(3 103 8 1=CCAP；15142)(3 103 83 9 2=CCCAP或15141)(3 101 8 2=CCAP13.从9 , 2 , 1 , 0中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个 4 位偶数的概率。解：解：9041454 102 83 9=PPPP14.一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有 1 人生日在 10 月份；（2）6人中恰有 4人生日在

10、 10 月份；（3）6人中恰有 4人生日在同一月份； 解：解：（1 1 1 1）41. 01211166 =P；（2 2 2 2）00061. 01211624 6=CP；（3 3 3 3）0073. 01211624 61 12=CCP15.从一副扑克牌（52 张）任取 3 张（不重复），计算取出的 3张牌中至少有2张花色相同的概率。 解：解：602. 03 521 392 131 43 131 4=+=CCCCCCP或或602. 013 521 131 131 133 4=CCCCCP5习题习题 1.21.21.21.2解答解答 1.假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%、10%

11、，从中任取一件，结果不 是三等品，求取到的是一等品的概率。 解：解： 令=iA“取到的是i等品”，3 , 2, 1=i32 9 . 0 6 . 0)()( )()()(31331 31=APAP APAAPAAP。2.设 10 件产品中有 4件不合格品，从中任取 2件，已知所取 2件产品中有 1件不合 格品，求另一件也是不合格品的概率。 解：解： 令=A“两件中至少有一件不合格”，=B“两件都不合格”511)(1)( )()()|(2 102 62 102 4 = =CCCCAPBP APABPABP3.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和II。两种报警系统单独使用 时，系统 I

12、和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效 的概率为 0.85，求 （1）两种报警系统 I 和 II 都有效的概率； （2）系统 II 失灵而系统 I 有效的概率； （3）在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。 解：解：令=A“系统（）有效” ，=B“系统（）有效”则85. 0)|(,93. 0)(,92. 0)(=ABPBPAP（1）)()()()(BAPBPBABPABP= 862. 085. 0)92. 01(93. 0)|()()(=ABPAPBP（2）058. 0862. 092. 0)()()()(=ABPAPABA

13、PABP（3）8286. 093. 01058. 0)()()|(=BPBAPBAP4.设1)(00，)(BP0，则有（1）当A与B独立时，A与B相容；（2）当A与B不相容时，A与B不独立。 证明：证明：0)(,0)(BPAP（1）因为A与B独立，所以 0)()()(=BPAPABP，A与B相容。 （2）因为0)(=ABP，而0)()(BPAP， )()()(BPAPABP，A与B不独立。7.已知事件CBA,相互独立，求证BA与C也独立。 证明：证明：因为A、B、C相互独立， )()(BCACPCBAP=)()()()()()()()()()()()()()()()(CPBAPCPABPBPA

14、PCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACP=+=+=+=BA与C独立。 8.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为 0.7，0.8 和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解：解： 令321,AAA分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么9 . 0)(, 8 . 0)(, 7 . 0)(321=APAPAP令B表示最多有一台机床需要工人照顾，7那么)()(321321321321AAAAAAAAAAAAPBP+=902. 01 . 08 . 07 . 08 . 02 . 07 . 09 . 08 . 03 . 09 . 0

15、8 . 07 . 0)()()()(321321321321=+=+=AAAPAAAPAAAPAAAP9.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为) 10 (，求常数C.解：解：1 !1=ekckk ，而1!0=ekkk1!010 = ec，即1)1(=ec3. 设一次试验成功的概率为) 10 (XP. . . .解：解：2ln,21 !0)0(0 =eXP)1()0(1)1(1)1(=+=XPXPXPXP)2ln1(212ln21 211=+=8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从 Poisson(泊松)分布。经统计发现在某 本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验 4页，每页上都 没有印刷错误的概率。解：解：)2()1(=XPXP，即2, !2!121 =ee20=eXP）（842)(=eeP9. 在长度为的时间间隔内