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1、 單元單元B2：極限、連續性及可微性 ：極限、連續性及可微性 特定目標： 特定目標： 1. 理解函數的極限的直觀概念。 2. 理解函數的連續性及可微性的直觀概念。 3. 認識極限作為微積分的基本概念。 內容內容 時間時間 分配分配 教學建議教學建議 53 2.1 函數的極限 函數的極限 5 函數的極限應以直觀方式介紹。其實，在 x=a 時，函數 y=f(x)的極限概念應與序列 的極限概念連系起來。當引數經過一收斂序列xn(橫坐標序列)，其極限為 a 時，則可考 慮其直座標序列f(xn)。故此當xn趨近 a 時，則 f(xn)趨近一有限值 之情況，應可 清楚而明確地表達，即是 ?若x則或 部份教
2、師可能會將重點放在當x與a為相當接近時，則f(x)與之間的差異可以任意 的小的概念上，從而強化當時，的理解。 a?)x(f?= )x( flim axax f? ?)x(但必須向學生指出，函數值f(a) 的存在，並不能引申為極限的存在及等於f(a)，緃使在一般情況下可成立。教師可參考下列例子： )x(flim ax0x當00x當1)x(f= 這裹f(0) = 0 和 1)x(flim 0x= 引數趨近極限a的途徑應加以注意：當x的值是由左至右増加時， 函數的極限稱為左方 極限，以表示；當x的值是由右至左遞減時，極限稱為右方極限，以表示。 )x(flim ax)x( flim ax+由此，教師不
3、難引導學生理解當時，函數f(x)的極限存在當且僅當其左方極限和右 方極限相等。至於對極限作更廣泛理解，教師應討論的情況，使學生再一次明白當 x趨於一足夠大的數時，f(x)與 的的差異可任意的小，並表為。 ax?x?= )x( flim x56 表示刪去的內容內容內容 時間時間 分配分配 教學建議教學建議 54 下列函數的極限性質應包括在討論範圍內： (i) )x(glim)x(flim)x(g)x( flim axaxax+=+ (ii) )x( flimk)x(kflim axax=，k與x無關 (iii) )x(glim)x( flim)x(g)x( flim axaxax= (iv) )
4、x(glim)x(flim)x(g)x(flimaxaxax =，其中 0)x(glim ax (v) 若)x(g)x(h)x(f 在x接近a時成立，而且 ，則。 ? x= )x(glim)x( flim axa?= )x(hlim ax一些重要的極根，如下列者，應予以介紹： (1) 1xxsinlim 0x= (2) e)x11 (limxx=+ (3) axxe)xa1 (lim=+ (4) 1x1elimx0x=(5) anx1alimx0x?=；a 0 (6) 1x)x1 (nlim 0x=+?(7) 11xx nlim 1x=?教師應給予學生足夠的計算函數極限的練習以便強化他們在這方
5、面的訓練。 內容內容 時間時間 分配分配 教學建議教學建議 55 2.2 函數的連續性 函數的連續性 4 函數的連續性的定義是應以函數的極限作為基礎，以及用直觀的方法加以解釋，不 宜涉及 的概念。教師可參考下列建議 若lim存在兼且等於f(a)，則函數f(a)在x = a連續。 )x( f ax若函數在某區間內的每一點連續，則函數在該區間內連續。 在引入函數於一點的不連續性前，應討論一些常見的函數，例如： (i) 在任何區間內皆連續。 2x)x(f=(ii) 1x1)x(f=並非在整個區間內連續。 5x0上述概念並不需要作嚴謹的處理，但教師宜提供廣泛而合適的例子，以便加強學生 在這方面的認識，
6、並理解若兩函數在 x = a 連續，則它們的和、差及乘積在該點亦為連 續，而當分母不等於零時，它們的商亦為連續。教師應引用一些在整段實數線上皆為連 續的例子，以啟發學生進一步的認識 (i) 多項式函數 01n1nnna.xaxa)x(f+= (ii) 指數函數 f(x) = ax ；a 0 (iii) 對數函數 ；a 0， xlog)x(fa=1a (iv) 三角函數，例如 sinx、cosx 對於合成函數的連續性，教師可採納下列方式 設 y = fg(x) 為一合成函數，其內函數g(x) 在x = a連續，其外函數y=f(t)在t = g (a)亦為連續，則合成函數y = fg(x)在x =
7、 a連續。 教師可強調每一連續函數的連續函數亦為連續。 教師應指出在一區間內的連續函數擁有一系列值得注意的性質，並加以討論，但不 宜作嚴謹的證明。這些性質包括 (i) 若函數f(x)在閉區間a，b內連續，其中f(a)= A和f(b) = B，A B，則f(x)在 A與B之間的每一數值取值一次或以上。(介值定理) (ii) 閉區間上的連續函數必為有界。 57 表示刪去的內容內容內容 時間時間 分配分配 教學建議教學建議 4 56 2.3 函數的可微性 函數的可微性 13 (iii) 閉區間上的連續函數必有其極大和極小值。 (性質 (ii) 和 (iii) 稱為魏爾斯脫拉斯定理) 函數f(x) 在
8、x= a的可微性定義如下： 函數f(x) 在 x= a 上可微當且僅當極限ax)a (f)x(flim ax或h)a (f)ha (flim 0h+存在。教師應同時指出若一函數在某點可微， 則函數在該點連續，而連續性祗是可微性的 必要條件而並非充分條件。並且，函數在x = a 的導數定義就是上述極限的值。學生可透 過上述學習理解可微性的概念。函數f(x) 在 x = a 的導數可表為 )a (f、ax )x(fdxd =或 a x dxdy =教師應提及若函數在一區間內每一點皆可微，則該函數在該區間內可微，兼且在區 間內的每一x值，皆對應於函數在該點的導數f(x)，因此f(x)亦為x的函數，稱為f(x)的 導函數。 在這階段，教師應預備充足例題以便學生能掌握微分法的概念和技巧，至於從基本 原理求取一些典型函數的導數，尤為重要。故此，足夠的練習是不可缺少的。下列例子 可作參教考： (1) 利用第一求導法則，找出下列函數於各點的導數 (i) x2於x = 1 (ii) ex於x = 0 (iii) sinx 於 x =4(2) 利用第一求導法則，求下列函數的導數 (i) f(x) = xn其中n為一正整數 (ii) f(x) = ex 58 表示刪去的內容
