让学生经历知识的形成过程_以_乘法分配律_的教学为例

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1、JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN 教学月刊小学版2012.3数学一、 引言：乘法分配律怎么证明？有什么用？在一次小学数学骨干教师培训的教学实践研讨课上， 两个学生的偶然提问引起了笔者和在座众多听课教师的思考和讨论。这是四年级下册的一节 “乘法分配律” 的新授课。 教师让学生从一个等式 “ （42 ） 25425225”出发，得到一个数学规律，“两个数的和与一个数相乘， 可以先把它们与这个数分别相乘， 再相加” 。 这个规律就叫做乘法分配律，它还可以用字母表示为“ （a+b ） c=ac+bc” 。 然后， 教师对大家说，“同学们，对于乘法分配律， 你想说点什么？ ”一个学生问道：

2、“老师， 我们仅从一个算式出发，就得到了乘法分配律， 乘法分配律正确吗？ 怎么能说明它一定正确呢？ ” 这时， 有些学生也开始附和：“是呀， 怎么说明乘法分配律一定正确呢？ ” 面对这突如其来的问题， 教师愣了一下， 但很快镇定下来， 说道：“同学们，你们能举出反例说明乘法分配律不正确吗？ ” 学生开始举例子， 都符合乘法分配律， 没有人能举出反例。 这时， 教师说：“没有人能举出反例说明乘法分配律是错误的， 所以我们认为它是正确的。 ” 此时， 学生不说话了， 似乎认同了教师的观点， 可听课教师却窃窃私语起来。之后， 教师讲解了两道关于乘法分配律的例题，便让学生进行巩固练。 在课堂小结时，

3、教师让学生谈谈运用乘法分配律解题的感受。 一个学生站起来说道：“老师， 您让我们用乘法分配律计算 （31） 6361618624 ，但是我们不用乘法分配律解就可以看出是 4624， 干吗还要这么复杂？ 乘法分配律到底有什么用啊？ ” 这时， 全场都静了下来， 目光再次聚焦到授课教师身上。 授课教师一脸茫然， 想说点什么， 却欲言又止。 就在此时， 下课铃响了， 教师乘机结束本节课。这节课给听课教师留下了深刻的印象， 因为学生提出了两个出人意料的问题， 而这两个问题又很难回答。 是啊， 怎么能说明乘法分配律是正确的呢？举不出反例就能说明一定正确吗？ 在数学上判断一个命题的正确性， 需要依靠逻辑推

4、理来证明， 在小学阶段怎么证明乘法分配律是正确的呢？ 另外， 学乘法分配律仅仅是为了所谓的简便计算 （况且有些学生还认为越用越复杂 ） ？ 乘法分配律的价值到底在哪里呢？二、 乘法分配律的证明与价值一般情况下， 乘法分配律有两种形式：（1 ） 基本形式。 两个数的和与第三个数相乘， 等于每个加数分让学生经历知识的形成过程以“乘法分配律”的教学为例曾小平韩龙淑的思考程序。如两位数减一位数的退位减法， 以54-8=？ 为例。 让学生独立思考尝试解决这个计算题时， 学生可能会有多种不同的方法：（1 ）5485444；（2 ）5485084；（3 ）54854102；（4 ）5485884；（5 ）5

5、4840+148=40+6；以上的每一种方法都有数学的思维过程， 教师可以选择一个一般的算法， 分析思维过程， 并把思维过程归纳成几步。 如对于运用第 （5 ） 种方法： 54840148。 它的思维过程是： 一看： 看个位上的数是否够减； 二分： 把被减数分成几十和十几； 三减： 十几减几； 四加： 几十加几； 五写： 写上结果。 让学困生经历得出这五步的过程， 然后让学生运用这个过程解决两位数减一位数的退位减法的问题。（以上活动方案中问题的相应参考答案略 ）（浙江省杭州市上城区教育学院310006）备课之窗问题研究23JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN 教学月刊小学版2012.

6、3数学别与第三个数相乘，再把它们所得的积加起来， 即（a+b ） c=ac+bc， 或者 c （a+b ） =ca+cb；（2 ） 拓展形式。 若干个数的和与一个数相乘的积， 等于和中的每一个加数与这个数相乘， 再把所得的积加起来， 即（a1+a2+an） b=a1b+a2b+anb， 或者 b （a1+a2+an） ba1+ba2+ban。 下面的讨论主要针对基本形式的第一个式子进行， 读者可以拓展到其他形式。（一） 乘法分配律的证明在小学数学中， 乘法分配律的适用范围有两个，一个是自然数， 另一个是有理数。 下面我们分别在自然数和分数的条件下证明乘法分配律。1.在自然数范围内在自然数范围内

7、， 乘法的意义是表示相同加数的连加， 是一种特殊的加法1 。 由此出发， 并借助加法运算律， 我们可以证明乘法分配律。（a+b ） c= （a+b ） + （a+b ） + （a+b ）a+a+a+b+b+b=ac+bc特别地， 当 c0 时，（a+b ） 00a0b0； 当 c1时，（a+b ） 1a+ba1b1。 从而， 在自然数范围内，乘法分配律成立。2.在分数范围内下面我们证明， 在分数范围内 （也可以说在有理数范围内） ， 乘法分配律a b+c d?mn=a bmn+c dm n成立 （这里 a， b， c， d， m， n 是整数， 且 b， d， n0 ） 。因为a bmn+c

8、dmn=am bn+cm dn=adm+bcm bdn， 所以a b+c d?m n=ad+bc bdm n=（ad+bc ） mbdn=adm+bcm bdn=a bmn+c dmn。（二） 乘法分配律的价值在小学数学中， 乘法分配律的价值主要表现为两个方面： 一方面借助乘法分配律进行简便计算， 这一点已经形成共识， 在小学数学中也有大量的相关练题； 另一方面乘法分配律是进行多位数竖式乘法的基础， 即它是我们进行竖式乘法的依据。 这第二点价值可能还有很多人没有意识到， 下面我们通过“3728” 的竖式乘法来分析一下。观察乘法竖式 （见图 1 ） ， 不难发现， 我们在计算的时候， 相当于将

9、“3728” 写成“37 （208 ） ” ， 再用乘法分配律得到 “37837202967401036” 。 一般地， 竖式计算两位数乘两位数的算理为： 要计算 abxy， 根据十进制计数法， 可改写为 ab（10x+y ） ； 根据乘法分配律， 等于 ab10x+aby。 读者可以类似拓展到其他多位数乘多位数的情况。三、 乘法分配律的教学乘法分配律是一个重要的数学规则， 对此内容的教学要经历 “发现表述证明运用” 四个阶段， 让学生领悟到乘法分配律 “从哪里来， 是什么， 到哪里去” 。（一） 发现师： 老师这里有两句话，“我爱爸爸” 和 “我爱妈妈” 。 你能把它们合并成一句话吗？生：

10、能， 那就是 “我爱爸爸和妈妈” 。师： 很正确。 校服每件上衣 62 元， 每条裤子 37元， 大家算一算， 咱们班 35 个人， 每人一套校服， 需要花多少钱？ 暂不计算结果， 说一说你是怎么列算式的。生： 每一套校服的钱乘总的套数：（6237 ） 35。生： 所有上衣的钱加上所有裤子的钱： 62353735。师： 有两种不同的算法， 得到两个不同的算式，大家猜一猜， 这两个算式的结果会怎样？生： 结果相等， 也就是说 （6237 ）3562353735。师： 是吗？ 动手算一算， 是否真的相等？学生计算， 结果都等于 3465， 教师在黑板上写下：（6237 ） 3562353735。

11、然后， 再出示两个类似的问题， 用类似的方法得到两个等式：（42 ） 25425225，（108 ） 501050850。师： 观察这三个等式， 你有什么发现？ 请用自己的话说一说。（评析：教师通过生活情境的引入和数学问题的解决，引导学生对多个数学事实进行观察，从而发现乘法分配律，培养学生数学探究和归纳猜想的能力。）（二） 表述c个（a+b）相加c个b相加c个a相加备课之窗问题研究图1372829674 103624JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN 教学月刊小学版2012.3数学AEDBFCabc图2生： 两个数的和与第三个数相乘， 等于每个加数分别与第三个数相乘， 再把它们所得

12、的积加起来。生： 两个数的和与一个数相乘， 可以先把它们与这个数分别相乘， 再把乘积相加。生：（甲数乙数 ） 丙数甲数丙数乙数丙数。生：（） 。生：（a+b ） c=ac+bc。（评析：启发学生从多个角度表述乘法分配律，既可以加深对乘法分配律的理解，又可以培养学生的数学表达和数学交流能力。）（三） 证明师： 大家的发现正确吗？生： 正确。 我举了几个例子， 都验证了它。生： 不一定。 找不到反例， 只能说明它正确的成分很大， 但不能说明一定正确。师： 怎么才能说明这个结论一定正确呢？生： 除非我们能用学过的数学知识来证明它正确。师： 对！ 在数学上肯定一条结论， 需要凭借证明。这里的 a、 b

13、、 c 都是大于 0 的自然数， 以 （a+b ） c=ac+bc 为例， 你能证明它吗？生： 我试试， 可以用乘法的含义来证明。 根据乘法的意义，（a+b ） c 表示 c 个 （a+b ） 的连加， 将括号去掉， 就是 c 个 a 的连加， 再加上 c 个 b 的连加， 根据乘法的含义， 就是 ac+bc。（师根据学生的叙述板书， 具体参见前文 ）生 （众 ） ： 哇！ 巧妙！生： 我可以用长方形的面积来证明。 如图2所示，长为 a+b、宽为 c 的长方形 ABCD的面积为 （a+b ） c， 也可以是两个长方形 ABFE 与 EFCD 的面积和， 即ac+bc， 从而 （a+b ） c=

14、ac+bc。师： 这样， 我们就可以确定 （a+b） c=ac+bc是正确的。 我把这个等式变成 c （a+b ） =ca+cb， 你说它正确吗？生 （众 ） ： 正确。师： 我们把这个规律叫做乘法分配律。 大家用自己的话说一说， 什么是乘法分配律？（评析：证明乘法分配律能加深学生对乘法分配律和乘法意义的理解，有利于培养学生的数学说理和论证能力； 同时也让学生初步体会到数学的研究方法，即在数学上肯定一个结论需要给予证明，而否定一个结论只需要举出反例。）（四） 运用师： 下面请大家用乘法分配律计算 25 （108）和 37 （203 ） ， 并用竖式计算 2518 和 3723， 看看你有什么发

15、现？生： 我发现竖式的算法就是来源于乘法分配律。师： 如果计算 38102， 你打算怎么算？生： 我会列竖式计算。生： 我把 38102 写成 38 （1002 ） ， 再用乘法分配律计算。师： 大家用两种方法计算， 体会一下哪一种方法更简单。（评析：学以致用，通过这两类练题的计算，教师不但培养了学生解决问题的能力，还让学生体会到了乘法分配律的重要价值，加深了对相关数学内容的理解。）四、 结束语：数学教学要让学生经历来龙去脉在数学教学中， 教师如果仅仅告诉学生一个概念、 公式、 定理和法则， 就让学生进行简单的模仿练， 学生往往理解不深刻， 也常常会出错。 如果让学生经历重要知识的来龙去脉，学生就会理解得更深刻， 也会减少一些错误。因此， 在进行一些重要的数学知识点的教学时，教师要让学生明白 “知识点怎么来的为什么会有它”“知识点是什么如何用语言描述它”“知识点有什么用它的作用是什么， 可以解决哪些问题” 等基本问题。 对于像乘法分配律这种重要的数学结论和数学公式， 采用 “情境引入探索发现语言表述数学证明巩固运用” 的教学模式， 教学效果会比较好。（首都师范大学初等教育学院100048）（山西省太原师范学院数学系030012）参考文献：1史宁中.数学思想概论数量与数量关系 的抽象M.长春：东北师范大学出