《抛物线一个经典性质的探究之旅_数学_高中教育_教育专区》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线一个经典性质的探究之旅_数学_高中教育_教育专区（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专论荟萃 数学通讯 一 2 0 1 2 年第 8 期 ( 下半月) 4 5 抛物线一个经典性质的探究之旅 1 赏析经典提出问题 性质在抛物线 Y = 2 p x ( P0 ) 中， 过 焦点 弦 A B的两个端点分别向准 线作垂线， 垂足为 Al ， B 1 ， 则以线段 A1 B 1 为直径的 圆与直线 A B相切于焦点 F ( 图 1 ) 张 晓阳 ( 安徽省宿州学院附属实验中学， 2 3 4 0 0 0 ) y J l 一 B 曰I 图1 这是众所周知 的一条 经典性质， 条件简短， 结论优美 性质的结论可等价 写成 ： A1 F_ 上 - B1 F且 MF上AB( M 是线段 A1 B
2、1的 中点) 那么这条性质是否可以推广到椭圆和双曲线 中去呢?本文将探究这一问题 2 推广 受阻收获意外 按照上面抛物线中的构图方式， 用几何画板作 图发现 ， 在椭圆中以线段 A1 B1 为直径的圆与直线 A B相离， 在双曲线中则是相交 虽然没有获得预想 的结果， 但却意外发现了圆锥曲线的一个统一的 性质 性质 1 圆锥曲线 E 的一个焦点为F， 对应准 线为 z ， 过焦点 F的一条直线交E于A， B两点， A， B在准线 z 上的射影为A1 ， B 1 ， 线段 A1 B 1 的中点 为 M， 则 A M B 1 F， B M A1 F 证法 1 ( 1 )在抛物线 Y =2 p x(
3、 PO ) 中， 设 直线 AB的方程为 2 7 ：my+ ， A( z1 ， Y 1 ) ， B( ,2 7 2 ， 2 ) ， 则A 1 ( 一 号 ， Y 1 ) ， B 1 ( 一 号 ， Y 2 ) ， M( 一 号 ， ) 由 方 程 组 l m y 十 消 去 得 ： Y 2 2 m p y 由 方 程 组 z 消 去 得 ： 一 y 2 ： ： 2 p z P =0 贝 U Y l Y 2 =一P -。愚= = Yl-Y2 kBI F = - Y2A M B i ， 意 一 了， ： 1 1 二 2 坌 一! 二 1 2 垒 一 k B IF一一( p+2 x 1 ) y 2
4、一 P y 2 +2 xl Y 2 ： ： ： 1 P Y2 + 1 k A M=b F ， 。 A M Bl F 同理可证 B M A 1 F ( 2 ) 在椭圆和双曲线中的情况同法可证 注意到性质 l与焦点有关 ， 所 以还可考虑使用 圆锥曲线的定义进行证明 证 法 2 如 图 2 ， 取线 段 A B 的 中点 为 Ml 连 接 MM1 ， 直线 A B交准线 z 于 点N， 设圆锥 曲线 E 的离心 率为 ， 则， l A A1 l ： ， f B B 1 f = ， I MM1 I = ! ! ! ! 垦 星 ! ! 一 2 I i I 旦 I 一 y I ，v 。 A 0 M f
5、B ， 曰 图 2 i i A M B 1 F， 只要证 = 由 MM1 B B1 得： I N MI 一 一 互I A B I一 l NB1 l l B B1 l 幽 I B F l 可 一! ! l N B I f NB f 数学通讯 一 2 0 1 2年第8期 ( 下半月) 专论荟萃 一圭 一 一 线 B C 的 方 程 为 ： z = + 口 l NB1 I l B FI I ,n 3 I 一 直线 Ac的方程与直 Bc的方程分别与准线 I N M 1 l _ 专 I A B I N M 1 l _ I A M l I l N A l f NB I _f B Ff f NFf f NF
6、l 。A MB 1 F， 同理可证 B MA1 F 由于 A MB 1 F且B MA1 F， 所以这四条直 线的交点构成平行 四边形 ， 于是得到 ： 推论 1 圆锥 曲线 E 的一个焦点为 F， 对应准 线为 ， 过焦点 F的一条直线交 E于A， B两点 ， A， B在准线 l上的射影 为 Al ， Bl ， 线段 A1 B1 的中点 为 M， 则 A MB= A1 F B 1 又 M 是线段A1 B 1 的中点， 且 A MB1 F， 所 以 A M 与A1 F的交点是线段A1 F的 中点， 这样便 获得了下面的推论 ： 推论 2 圆锥曲线 E 的一个焦点为 F， 对应准 线为 l ， 过
7、焦点 F的一条直线交 E于A， B两点 ， A， B在准线 上的射影为 Al ， B1 ， 线 段 A1 B1 ， A1 F， B F的中点分别为M ， P， Q， 则 A P与B Q交于M 3 改变角度柳暗花明 上面偶然发现的性质虽简洁有趣， 但是经典性 质中的垂直、 相切 已难见踪影 ， 心中总感缺憾 在图 1中， A， 0， B1 三点共线 ， B， 0， A1 三点共线 ， 如果 把 A1 ， B1 看作是 B O， A O与准线 的交点， 其结果 是否可以推广到其他圆锥曲线中呢?正是这一思考 角度的改变， 使得推广获得突破性的进展 先看椭圆 中的情况 过椭 圆 E一个焦点 F的直线交
8、 E 于A， B 两 点， c是椭圆E长轴的一个端点， 直线 A C， B C交 焦点 F对应准线 于Al ， B1 ， 则 以线段 Al Bl 为直 径的圆与直线 A B相切于焦点F 2 2 证明设椭圆 E 的方程为 + =1( b “ 0 ) ， F( C ， 0 ) ， 直 线 A B 的方 程 为 z=my+C ， A( my 1 +C ， 1 ) ， B( my 2 +C ， Y 2 ) ， 先证点 C为椭圆 E 的右顶点的情况 ， 则 直 线A C 的 方 程 为 ： = 3 ， 十 n ， 直 方程z： 旦 三 联立得： C A 1 (譬 ， ， 譬 ， ， r 2 7 my +
9、 由方程 + ： 1消去 z得 ： ( m 6 +口 )2 【 n b 2 一 j ， 2 +2 rob 2 c yb 0， 根据韦达定理： 1 + 2 =一 2 m b 2 C， 64 Y l Y 2 一 丽 1 r a ( nc ) 1 。 a ( ac ) Y 2 2 c ( my l +c 一口 )。 c ( my 2 +f n ) 一 ! 二 1 2 ! ! 二 垒 ! 1 竺 ! ! 二 ! 一 2 c ( my 1 +C a ) ( m y 2 +C a ) 一 ! 二 2 2 ! ! 二 2 1 ! 2 2 3 2 c m2 Y 1 Y 2 +m( c n ) ( 1 +Y 2
10、 ) +( c n ) 2 口 ( - -c ) E 一 一 一2一 c L 一 一 +( c一以 ) z 一 _ 一 = _ 一 十 一以 厂j 二 垒 堡 ( 垒 二 ) 垒 ! 二( 堡= ) C 一 2 b 4 +2 m2 ( nC ) b 2 c +( nC ) 2 ( 2 b 2 +a 2 ) = 一仇6 口 ( 口一C ) ( 口一C ) ( a+C ) 一( ac ) C C 一7 7 z 2 b 4 十 2 m2 ( nC ) b 2 c +优2 b 2 ( nC ) 2 +a 2 ( nC ) 一r n a 2 b 2 ( a c ) 口2 ( 口 一c ) 2 c + 2
11、 b 2 C C 2 一日 2 +( 丑 一c ) ( 2 c +n C ) 一二 垒 ( 堡 二 2 1 一 一 口 ( 口一c ) c C 线段 AI B1 的中点 M( a ， I ，2一_1 7 1 b 2 )， mbz 忌 忌 A B 1= 一1 ， MFJ _ AB 一 专论荟萃- 数学通讯 一 2 0 1 2年第8期 ( 下半月) 4 7 F = C aYl ( a+c ) ( my l +f a ) k A zF = ， kn 1F。 走 A2F a2 y1 Y2 一 ( 口+c ) 2 ( my 1 +f n ) ( m y 2 +c 一口) 2 ( n +c ) 2 2 Y
12、 1 Y 2 + ( c a ) ( Y l +Y 2 ) +( C 一口 ) 2 二 堡 ! 一 ( 口+f ) 口 ( 口一c ) 一 Al F上B1 F 一1 由 MFj - AB且 A1 Fj - Bl F知以线段 A1 B1 为 直径的圆与直线 A B相切于焦点F 若点 C为椭圆E的左顶点， 同法可证 对于双曲线， 也有同样的结论 所以圆锥曲线具 有下面统一的性质 ： 性质2 过圆锥曲线 E一个焦点F的直线交 E于A， B两点， C是E焦点所在轴的一个顶点， 直 线 AC， BC交焦点 F对应准线 z 于 A1 ， B1 ， 则以线 段 A1 B1 为直径的圆与直线 AB相切于焦点
13、F 这个性质可以利用圆锥曲线的第二定义给出非 常漂亮的证明 证 明 设 圆锥 曲线 E的离心率为e ， 焦点所 在轴交焦点 F对应准线 于 Q， 作 A P垂直 l于 P 如图 3 。 C Q A P， 一 一 i A P J I A1 A l 。f C Q l = I C F I ， l A P = I A F I ， 一 一 I A P I I A FI 曰， P M Q 图 3 一 一 I A1 A I I A FI 根据三角形外角平分线的性质知： F A 平分 BF Q 同理 F B 1 平分 A F Q， A1 F B1 ：9 0 。 ， 即 A】 F上 B1 F 在 R t X A
14、1 F B1 中 ， 易证 A1 F Q= A1 B1 F= M F B1 ， 1平分 B F Q， 。 A1 F Q= B F A1 ， M F B1 = BF A1 ， 。 MFB= MF A1+A BF A1 ： MF A1+ M FB1 ： A 1 FB1 = 9 0。 ， 。MF 上AB 由 MF_ l _ AB且 A1 F上Bl F知 以线段 Al B1 为 直径的圆与直线 A B相切于焦点F 从上面的证 明过程 可以看出 ， 圆锥 曲线的顶点 C可以适当“ 松弛” ， 即对 圆锥 曲线 E上不同于A， B 的任何一点， 按照性质 2中的方式构图， 都会有 A1 F上Bl F， 但是 MFj _ A B 不再成立 至此 ， 对 文 首性质的探究告一段落1 4 总结经验反思提升 进行数学探究活动， 目的不仅是使问题获得解 决， 更为主要的是积累数学活动经验 对某个曲线的 某条性质进行 推广是研究 圆锥 曲线 的一种 重要手 段 推广过程中可能会受阻， 但变换角度往往会豁然 开朗 不过三种圆锥曲线各有各的“ 个性” ， 推广失败 在所难免， 但沿途风光
