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1、 1高等数学过关与提高上册第四章习题答案高等数学过关与提高上册第四章习题答案 一、填空题一、填空题 1 解： 解： Cxdxxdxxf+=+=arctan11)(2/， 又， 又 f （0） =1， 故， 故 C=1， 于是， 于是 f （x） =arctanx+1. 2 解：所给等式左端解：所给等式左端aaxxex=+ )11 (lim； 右端右端aataatatatateaeaedtetetdedtte) 1( = 。 故有故有 aaeae) 1( =，于是，于是 a=2。 3 解： 函数是 解： 函数是f （x） 在区间） 在区间a,b上的平均值为上的平均值为badxxfab)(1， 故
2、所求即为， 故所求即为2sin10=xdx。 4解：当解：当31 x时，时，22213 111 xxx xnn+，由定积分的不等式性质有，由定积分的不等式性质有 +31231231213 111dxxdxxxdxxnn ， 而而 12312lim,31213,1211312312=+=+nnnn dxxdxx。 由极限的夹逼定理有由极限的夹逼定理有 121lim312=+dxxxnn。 5解：令解：令 lnx=t，则，则tetf+=1)(/，故，故Cexdxexfxx+=+=)1 ()(。 6解：由题意知解：由题意知211)( xxxf =，故，故21)(1xxxf=。 于是于是)21(11)
3、(1222xdxdxxxdxxf= CxCxxdx+=+=23 223 222)1 (31)1 (32 21)1 (1217解：解： 设设Idxxf=10)(，对题中所给等式两边取定积分有，对题中所给等式两边取定积分有 411arctan11)(10310210+=+=IdxxIdxxdxxfI 从而从而443=I，故，故3=I。 28解：令解：令xet =，则，则 x=lnt，tttf1ln)(/=，故，故 Ctdtttdttftf+=2/)(ln211ln)()( 又又 f(1)=0，所以，所以 C=0，于是得，于是得2)(ln21)(xxf=。 9解：原式解：原式dxxxxxxdx=)1
4、(1)ln1 (1)1()ln1 ( CxxCxxx+=+=ln1)ln1 (110解：原式解：原式)21 11arcsin(2arcsin2=dxxxxxxxdx Cxxxxdxxx+=+=12arcsin2 )1 (11 21arcsin 211解：由题意知解：由题意知2/sincos)()sin(xxxxxfxx=，故，故 1422121)2(1 2sin)2(2)()sin()2(2)()()()()(2222/2222/=+=+= xxffdxxxffdxxfxxfxxdfdxxxf12解：原式解：原式02|1011|11|+=+=dxxedxxedxexxxx=101010)()(
5、2)()(2xdeexxdexxxx13) 1(22111101+=eeedeex13解：对所给方程两边关于解：对所给方程两边关于 x 求导，得求导，得 13) 1(23=xxf，令，令 x=2，得，得112)7(=f，故，故121)7(=f。 14解：原式解：原式)2()(22020222xxxdttdttxdxdxx+=666603 372312312xxxxtx= 315解：令解：令 u=x-t，则，则=xxxduuududttx 020202sin)(sin)sin( 从而原式从而原式202sinsinxduudxdx=。 16解：原式解：原式+=+= 12 22122111xxxxe
6、edeedxeeeeeee ex4)42(1arctan11=+。 17解：原式解：原式1) 10(ln1 lnln2=+ eexxxd。 18解：作草图：解：作草图： 求得求得 y=lnx 与与 y=(e+1)-x 的交点为的交点为(e,1)。由图可看出选。由图可看出选 y 为积分变量更方便一些，故所求面 积为为积分变量更方便一些，故所求面 积为 23) 1(211)1(10=+=+=eedyeyeSy。 二、选择题二、选择题 1解：选择（解：选择（D） 。） 。 对对=xdttfxF 0)()(，有，有 +=+=+TxxTxxxTxdttfxFdttfdttfdttfTxF)()()()(
7、)()( 00而而0)()()()()()(02/2/02/2/00=+=+=+TTTTTTTxxdttfdttfdttfdttfdttfdttf， 所以有， 所以有 F（x+T）=F（x） 。故选（） 。故选（D） 。） 。 2解：选择（解：选择（B） 。） 。 1 ey=lnx 1 xy e+14= 22ln)(ln)2()2()2(2)()()()(22222222/eetdtfffdxxfxxfxxdfdxxxf 设设 x=lnt，则，则)1(2211ln)(ln2222222/1eetdttttdtfeeeeee=，那么，那么 eeeeeeeefefdxxxf42222)1(2)(l
8、n2)(ln2)(2222/=+=+=故选（故选（B） 。） 。 3 解：选择（解：选择（C） 。） 。 所给不等式即所给不等式即 babfafababfabafxf，即函数的单增性可得，第二个不等号可由，即函数的单增性可得，第二个不等号可由0)(/xf，即曲线的凹性可推得。，即曲线的凹性可推得。 故选（故选（C） 。） 。 4 解：选择（解：选择（D） 。） 。 当当 x0 时，时，Cxxdxdxx+=2 21|；当；当 x1 时，时，21x无意义，故不正确。对（无意义，故不正确。对（B）来说，所给变换不满足定积分换元定理的条件，故不正确。对（）来说，所给变换不满足定积分换元定理的条件，故不
9、正确。对（C）来说，当）来说，当 a=+=xfxfxfxfxF，故，故 F（x）单调递增，而）单调递增，而0)(1 )(10)(1)()(=+=+=bababbbadttfdttfdttfdttfbF， 故故 F（x）在（）在（a，b）内有且仅有一个实根。）内有且仅有一个实根。 故选（故选（B） 。） 。 13解：选择（解：选择（B） 。） 。 因为因为0)()(lim)(sin)(lim )(sin)( lim 00000= ttf ttttfdttttdttfxxxxx，故应选（，故应选（B） 。） 。 14解：选择（解：选择（B） 。） 。 显然显然 F（0）=0，又，又 当当 x0 时
10、时xdtdttfxFxx=001)()(， 当， 当 x=+=xx xxxxI，故，故 I（x）在e，e）在e，e2 2上上8单调递增，所以其最大值为 单调递增，所以其最大值为 =+=22211ln) 1(ln 12ln)(222eeeeeexxddxxxdxxxxeI +=+=222 )1 11(12 111 11ln112eeeeeedxxxeedxxxxx1) 1ln(2) 1ln(111ln1122 +=+=eeexx eee1) 1ln(1) 1ln(11 +=+=eeeee。 12解：原式解：原式21 211lim)21 ()1 (lim)1 ( lim2222 022222=+=
11、+=+ = xxexexxedtetxxxxxxtx。 13解：设解：设 u=xn-tn，则，则 du=-ntn-1dt，=nnxxduufndunufxF 00)(1)()(，又因，又因 f（0）=0，于是，于是 1210200202)(1lim)(1lim)(lim =nnnxnxxnxnxxfnxn xduufn xxFn)0(21)0()(lim21)(lim21/00fnxfxf nxxf nnnxnnx= 。 14解：设解：设txu= 2，则，则 =xxxxxxxduuufduufxduufuxdttxtf2220)()(2)()2()2( 故故 222arctan21)()(2x
12、duuufduufxxxxx=对上式两边关于对上式两边关于 x 求导，得求导，得 4211221)()2(22)()2(22)(2xxxxfxxfxfxfxduufxx+=+整理得整理得 1)(21)(42xxxxfduufxx+=令其中的令其中的 x=1，有，有 43111) 1 (21)(21=+=fduuf。 15解：对所给等式两边关于解：对所给等式两边关于 x 求导，得求导，得 +=tduufxtfxttf 1)()()( 再对两边关于再对两边关于 t 求导，得求导，得 )()()()(/tfxfxtxtfxtf+=+ 在此等式中令在此等式中令 t=1，得，得 ) 1 ()()()(/
13、fxfxxfxf+=+ 9又又25) 1 (=f，故有，故有xxf1 25)(/=，即，即Cxxf+=ln25)(，再代入，再代入25) 1 (=f得得25=C，所以有，所以有) 1(ln25)(+=xxf。 16解：原式解：原式20020003)1arctan( lim22)1arctan( lim22xdttxxdudttxxxux + = + = 6432)1arctan(lim32 2)1arctan(2lim322020=+=+= xxxxxx。 17解：解： += axaaxaxaxaxxdeeadxxeexdexdxex222222222222)2(224 )(222222222
14、22+= axaxaaxadxexeeaxdeea +=+= axaaxaadeeaadxeaeea222222) 1(2222 aaxaeaaeeaa222 1) 1(2) 1(2+=+=， 当当0a时，时，aaxaxxxaxa aaxxxxeeaxa axax222 2lim)21 (lim)(lim+=+=+，故，故 aaeaae22 1) 1(2+=，即，即1, 0) 1(2, 1) 1(21=+=aaaaa。 显然当显然当0=a时，时，11lim)(lim=+xxxxaxax，1 1) 1(24222=+=+aaxeaadxex，故此时等式是成立的。，故此时等式是成立的。 综上所述，综上所述，0=a或或1=a。 18解：因为解：因为+=+=+=+tx
