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1、第32讲 等差数列 江苏省南通第一中学主要内容一、聚焦重点等差数列的定义，知三求二的策略二、廓清疑点等差数列前n项和Sn 的最值中，如何确定n的值 三、破解难点等差数列性质的应用聚焦重点：等差数列的定义 基础知识文字语言：符号语语言：问题研究如何判断一个数列是等差数列？经典例 题1 思路分析 思路 1：分别计别计 算a2a1，a3 a2， 思路 3：对字母p、q分类讨论此法不妥！没有必要！思路 4：直接由通项公式判断 没有根据！求解过程回顾反思（1）思想方法：回到定义去！（3）思维误区：逐一作差；无根据判断（4）思维定势：见字母就讨论（2）基本策略：作差！ an an 1（n2） 为常数.经典
2、例题2思路分析思路1：由Sn求an，化归为例1情景思路2：根据Sn是二次函数，且常数项为0，直接判断.思路2没有根据求解过程回顾反思 （1）思想方法：化归转化（由Sn向an转化）（2）思维误区：由Sn是二次函数（常数项0）直接判断（3）思维瑕点：由an =Sn Sn1求通项，忽视n=1聚焦重点：知三求二的策略基础知识2等差数列的前n项和公式问题研究对于等差数列an中的a1，d，n，an，Sn，如何由其中已知的三个量求出其余两个量？经典例题3思路分析思路1（通法）：将已知条件直接代入an与Sn的公式，解方程（基本量思想，方程思想）思路2（通法）：将Sn中的量统一到基本量a1、d 后再用公式，解方
3、程（基本量思想，方程思想）求解过程求解过程回顾反思（2）思想方法：基本量思想、方程思想（3）通性通法：方法一、二均是通法方法一思维量小，运算量相对较大；方法二思维量相对较大，运算量小（1）解题关键：合理选用公式，抓住基本量（基本量思想） （4）基本题型：等差数列中，由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个可求出其余两个（知三求二），共10种题型思维经济运算经济廓清疑点：如何确定n的值问题研究在求等差数列前n项和Sn的最值中，如何确定n的值 ？基础知 识方法扫描1 借助二次函数求Sn最值.等差数列an中,有关Sn的最值问题的处理方法：经典例 题 思路分析思路一： 先由a3、S5求基本量a1，d，
4、再将Sn表示为关于项数n的二次函数，求这个二次函数的最值思路二 ： 判断数列首项为正数且是单调递减的，将求数列前n项和Sn的最大值问题转化为找数列an中的哪些项为非负即可（邻项变号法） 求解过程将a3、S5用基本 量a1、d表示思考：如果 Sn=2(n3.5)2+16， 如何求n?由于 ，所以，当n=3时，Sn取最大值21，求解过程回顾反 思 （1）基本方法：将Sn用关于n的二次函数表示并求其最值（邻项变号法）将求Sn的最大值问题转化为相邻两项的正负问题，解不等式组 （2）方法比较：法一思维经济简捷，求二次函数最值方法多；法二邻项变号，解不等式组方便实用（3）思维误区：法一容易忽视自变量n的取
5、值范围为正整数集，或忽视n的取值可能有2个的情景破解难点：等差数列性质的应用 问题研究如何应用等差数列的性质，优化解题过程？an=am+(nm)d （其中m、nN*）可变形为基础知识基础知识警示：若m+n=t，则 am+an=at是错误的！经典例 题5思路分析思路1：（通性通法）由a5、a8先求a1、d，再求a14思路2：（用等差数列性质）利用an=am+(nm)d 直接求d，再求a14思路3：（用等差数列性质） a5，a8，a11，a14看成一个新等差数列的前4项，公差是a8 a5 ，从而直接求a14求解过程求解过 程方法二比 方法一经 济！求解过程a11设而 不求!方法三比方法二经济！回顾
6、反思（1）通性通法：方法一先求基本量首项与公差，是通性通法，但运算量比后两种方法大（2）方法比较：方法二实际上是方法一的改良，其回避了求a1（因a1非必求量） （3）辩证思维：方法三辩证地将a5，a8，a11，a14看成一个新等差数列的前4项，a11设而不求，思维灵活，要求高方法三具有局限性总结提炼 一、聚焦重点：等差数列的定义，知三求二的策略二、廓清疑点：等差数列前n项和Sn的最值中，如何确定n的值 三、破解难点：等差数列性质的应用 知识与内容总结提炼思想与方法（2）基本量思想，方程思想（3）化归转化思想（1）通性通法（4）辩证思维（来源于细心观察、分析）（5）设而不求总结提炼绿色思维（思维过程优化，解题过程优化）：（1）合理的思维程序（有序观察、结构差异分析、解题目标引领）（2）有效的解题策略（倡导通性与通法）（3）经济的解题结果（简洁迅捷，合乎题意）（4）正确的表达程序 再 见同步练习2中间项为5，项数为313B495数列an是等差数列参考答案
