《线性代数 线性代数方程组的解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 线性代数方程组的解（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组非齐次方程组4.2线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解线性代数方程组的解一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程
2、组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是相容的相容的相容的相容的相容的相容的相容的相容的, , , , , , , ,否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组否则就是不相容或矛盾方程组. . . . . . . .理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次理性地描述一般齐次 线性线性线性线性线性线性线性线性
3、方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐方程组的通解以及非齐次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵
4、的概念可利用矩阵的概念可利用矩阵的概念可构构构构构构构构. . . . . . . .4.2.1齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组考察考察考察考察 n 个未知数的齐次线性代数方程组个未知数的齐次线性代数方程组个未知数的齐次线性代数方程组个未知数的齐次线性代数方程组：11 1122121 122221 12200.0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax+= += +=111212122212.Annmmmnaaaaaaaaa = 系数系数系数系数 矩阵矩阵矩阵矩阵方程组的方程组的方程组的方程组的 矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵表
5、示0Ax = = = =定理定理定理定理 3(1) 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组有非平凡解有非平凡解有非平凡解有非平凡解的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是 ( )A 若， 则非齐次方程组无解通解表达式中含有通解表达式中含有通解表达式中含有通解表达式中含有 n-r(A) 个任意常数.(1)( )( ).AArr=，若若若若则则则则非非非非齐齐齐齐次次次次方方方方程程程程组组组组相相相相容容容容3证明证明证明证明11121121222212.nnmmmnmA = = = = aaabaaabaaab对于增广矩阵进行行初等变换对于增广矩阵进行
6、行初等变换对于增广矩阵进行行初等变换对于增广矩阵进行行初等变换，1AN将系数矩阵变成梯形矩阵1AN 12() = = = =T m 1N x =只需要讨论这个方程组就可以了只需要讨论这个方程组就可以了只需要讨论这个方程组就可以了只需要讨论这个方程组就可以了原方程组原方程组原方程组原方程组 Ax=b 化为同解方程组化为同解方程组化为同解方程组化为同解方程组11121121222212.nnmmmnmA = = = = aaabaaabaaab( )( )AArrk=当时， 增广矩阵化为111211121.000.000nkkknkkm+ ( )( )AArr=可以推出10.km+=( )( )A
7、Arrkn=当时，1.N x nn=方程组 的系数矩阵是可逆矩阵存在惟一解存在惟一解存在惟一解存在惟一解：1 1xN = ( )( )AArrkn=当时，111211121.000.000nkkknkkm+ 1,.km+中中中中至至至至少少少少有有有有一一一一个个个个不不不不等等等等于于于于零零零零此时第此时第此时第此时第 k+1个方程变成个方程变成个方程变成个方程变成因此方程无解因此方程无解因此方程无解因此方程无解1210000nkxxx+=这是不可能的这是不可能的这是不可能的这是不可能的10.k+不不不不妨妨妨妨设设设设例例例例例例例例5 5对方程组对方程组对方程组对方程组对方程组对方程组
8、对方程组对方程组1231232353218522kxxxxxkxkxx+= += +=问问问问问问问问k k取何值时方程组有惟一解取何值时方程组有惟一解取何值时方程组有惟一解取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解无限多解或无解无限多解或无解无限多解或无解取何值时方程组有惟一解取何值时方程组有惟一解取何值时方程组有惟一解取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解无限多解或无解无限多解或无解无限多解或无解. . . . . . . . 在在在在在在在在无限多解时求出通解无限多解时求出通解无限多解时求出通解无限多解时求出通解无限多解时求出通解无限多解时求出通解无限多解时求出通解无限多解时求出通解. .
9、解一解一解一解一利用行初等变换利用行初等变换利用行初等变换利用行初等变换，可把讨论相容性与可把讨论相容性与可把讨论相容性与可把讨论相容性与利用行初等变换利用行初等变换利用行初等变换利用行初等变换，可把讨论相容性与可把讨论相容性与可把讨论相容性与可把讨论相容性与 求解过程结合进行求解过程结合进行求解过程结合进行求解过程结合进行：求解过程结合进行求解过程结合进行求解过程结合进行求解过程结合进行：(1) (1) 当当当当当当当当0131 342kk时时时时，即当即当即当即当时时时时，即当即当即当即当1k并且并且并且并且3k时时时时时时时时，3()(),AA=rrn有惟一解有惟一解有惟一解有惟一解有惟
10、一解有惟一解有惟一解有惟一解. .115321850122A = kkk 12 2332185 0122115r rkkk 21 23( 2) ( 1)3041450122 013r rkkk 13()322304145 01224151400133333krkkkkkk +4(2) (2) 当当当当当当当当1=k时时时时，也有也有也有也有, 03314 352=+kk故故2()()AA=rr方程组有无限多解方程组有无限多解方程组有无限多解方程组有无限多解方程组有无限多解方程组有无限多解方程组有无限多解方程组有无限多解，通解中带通解中带通解中带通解中带通解中带通解中带通解中带通解中带( )32
11、1A=nr个任个任个任个任意常数意常数意常数意常数意常数意常数意常数意常数. . 13233 3922xxxx= +=此时的方程组等价于此时的方程组等价于此时的方程组等价于此时的方程组等价于此时的方程组等价于此时的方程组等价于此时的方程组等价于此时的方程组等价于22304145 0122 4151400133333Akkkkkk +1323322xxxx= +=于是于是于是于是于是于是于是于是1323322xxxx=+ = 补上一个平凡的等式补上一个平凡的等式补上一个平凡的等式补上一个平凡的等式补上一个平凡的等式补上一个平凡的等式补上一个平凡的等式补上一个平凡的等式tx =3可以把通解写成可以
12、把通解写成可以把通解写成可以把通解写成可以把通解写成可以把通解写成可以把通解写成可以把通解写成123322xtxtxt=+ = =或或或或或或或或 + = 121023321 txxx (4(4(4(4- - - -6)6)6)6)(3) (3) 当当当当当当当当3=k时因有时因有时因有时因有时因有时因有时因有时因有( )23( ),AA=rr=方程组无解方程组无解方程组无解方程组无解方程组无解方程组无解方程组无解方程组无解. .即即即即即即即即解二解二解二解二根据方程组的特点根据方程组的特点根据方程组的特点根据方程组的特点根据方程组的特点根据方程组的特点根据方程组的特点根据方程组的特点，常可
13、利用行列式常可利用行列式常可利用行列式常可利用行列式常可利用行列式常可利用行列式常可利用行列式常可利用行列式进行讨论进行讨论进行讨论进行讨论进行讨论进行讨论进行讨论进行讨论. .(1)(1)按克拉默法则按克拉默法则按克拉默法则按克拉默法则按克拉默法则按克拉默法则按克拉默法则按克拉默法则，系数行列式不为零时方程系数行列式不为零时方程系数行列式不为零时方程系数行列式不为零时方程系数行列式不为零时方程系数行列式不为零时方程系数行列式不为零时方程系数行列式不为零时方程组有惟一解组有惟一解组有惟一解组有惟一解组有惟一解组有惟一解组有惟一解组有惟一解. .1111det32324 012010Akkkk=)3)(1(3)4(kkkk=+=故当故当故当故当故当故当故当故当1k且且3k时时时时时时时时，方程组有惟一解方程组有惟一解方程组有惟一解方程组有惟一解方程组有惟一解方程组有惟一解方程组有惟一解方程组有惟一解. .接着分别讨论接着分别讨论接着分别讨论接着分别讨论接着分别讨论接着分别讨论接着分别讨论接着分别讨论1=k及及及及及及及及3=k两种情形两种情形两种情形两种情形，这时这时这时这时两种情形两种情形两种情形两种情形，这时这时这时这时行了行了行了行了行了行了行了行了. . (2) (2) 当当当当当当当当1=k时时时时，方程组成
