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1、2013-04-151一、点的运动方程一、点的运动方程自然法主要用于实际计算，先决条件是点的运动轨迹已知。 如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运 动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧 长随时间变化的规律来描述。弧坐标具有以下要素：自然法主要用于实际计算，先决条件是点的运动轨迹已知。 如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运 动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧 长随时间变化的规律来描述。弧坐标具有以下要素：以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。53 自然法自然法1、有坐标原点(一般在轨迹上 任
2、选一参考点作为坐标原点)、有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点) 2、有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向)、有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向) 3、有相应的坐标系(自然轴系)、有相应的坐标系(自然轴系)(tfs = =弧坐标运动方程：（动点沿轨迹的运动方程）4、弧坐标：沿轨迹从O到点M的弧长。弧坐标运动方程：（动点沿轨迹的运动方程）4、弧坐标：沿轨迹从O到点M的弧长。二、自然轴系二、自然轴系sr srsddlim 0= 切线单位矢量切线单位矢量53 自然法自然法密切面：当密切面：当P点无限 接近于点无限 接近于P点时，过这 两点的切线所组成的 平面，称为点时，过
3、这 两点的切线所组成的 平面，称为M点的密 切面。点的密 切面。 PP= lim二、自然轴系二、自然轴系由密切面得到的几点结论： ? ? 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。 ? ? 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于 密切面内的平面曲线。 ? ? 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率。由密切面得到的几点结论： ? ? 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。 ? ? 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于 密切面内的平面曲线。 ? ? 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率。 法平面：过点M做一平面垂直于切线。法平面：过点M做一平
4、面垂直于切线。法平面与密切面的交线法平面与密切面的交线，称为主法线称为主法线，53 自然法自然法nb=法平面与密切面的交线法平面与密切面的交线，称为主法线称为主法线， 取取n n为主法线单位矢量，正向指向曲线 凹侧。过点M在法平面内做一直线垂直于为主法线单位矢量，正向指向曲线 凹侧。过点M在法平面内做一直线垂直于n n， 称为副法线，取b为副法线单位矢量， 其方向由右手螺旋法则确定，且满足 下式， 称为副法线，取b为副法线单位矢量， 其方向由右手螺旋法则确定，且满足 下式二、自然轴系二、自然轴系自然轴系是随着动点位置的改变而变动的轴系自然轴系是随着动点位置的改变而变动的轴系53 自然法自然法二
5、、自然轴系二、自然轴系自然轴系是随着动点位置的改变而变动的轴系自然轴系是随着动点位置的改变而变动的轴系53 自然法自然法二、自然轴系二、自然轴系曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值因为01lim xd sds =2sin2 =rrrr当时，与垂直，且0s 0 r r r r1 = =r r= , xyxyvx vy ax ay=&以及以及22222 xyvvvxy=+=+&53 自然法自然法求导并整理，得切向加速度：求导并整理，得切向加速度： 222tvaxxyy=+&22txxyyxxyyavxy+= +&22nxyxya xy= +&得法向加
6、速度：由得法向加速度：由22222 ntaaaxy=+&()222xxyy xy+& &()222xyxy xy=+& &五、例题分析五、例题分析xy+由由2nva=得轨迹的曲率半径：得轨迹的曲率半径： 2nv a=()3/2223xyv xyxyxyxy+=&53 自然法自然法五、例题分析五、例题分析例8 已知：半径为例8 已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯 滚动），设轮子转角为常值），如图所示。求用直 角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯 滚动），设轮子转角为常值），如图所示。求用直 角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点 的
7、速度、切向加速度及法向加速度。的运动方程，并求该点 的速度、切向加速度及法向加速度。( t =53 自然法自然法五、例题分析五、例题分析M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。OCMCrr t=由纯滚动条件由纯滚动条件解解:直角坐标表示的运动方程直角坐标表示的运动方程:53 自然法自然法)sin(sin 1ttrMOOCx= ()trMOCOycos1cos11=()1cos,sinxyvxrtvyrt=&直角坐标表示的速度投影直角坐标表示的速度投影:)202sin2)cos1 (222=+=ttrtrvvvyx（速度为速度为五、例题分析五、例题分析22sin,cosxyaxrtayrt=&222raaayx=+=00d2sind4 (1cos)(02)22ttttsv trtrt=t曲线坐标表示的运动方程曲线坐标表示的运动方程:直角坐标表示的加速度投影直角坐标表示的加速度投影:全加速度为全加速度为:53 自然法自然法2cos2 ttrva= &2sin22t2 ntraaa=切向加速度为切向加速度为: 法法向加速度为向加速度为:
