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1、十 ? 擞 ? ( 2 0 0 9 年 第 1 2 期 高 中 版 ) 数学园 地 一道数学征展新题的探究 3 6 3 0 0 0 福建漳州一中林新建 ( 中学数学 新题征展题) 已知椭圆x +百Y =1 ( 口b 0 ) 的左 准线交 轴于 c 上 Q， 过 Q的直线交 椭 圆于 A， B两点 ， 过 A， B的椭 圆的两 切线交于点 P ， F为左焦点， 试问 P F与 轴是否互相垂 直?为什么? 1 探 索 如图 l ， 设 A( 口 c o s ， b s i n O t ) ， B( a C O S JB ， b s i n卢 ) ， P ( ， Y ) 则 P A ， 船 的方程分
2、别为 XCOS 3 +y 1s i na =1， X C O S+ ：1 联立解得点 P的横坐标为 ， = 由 ：五 ： ： 得 口cos + 口c o s B + ! 旦 = ! 旦 旦一一 s i n( a一 ) a 所以 =口 (一 二 ) =一 c ， 又 ， ( 一c ， 0 ) ， 所 以 上 轴 由此 ， 我们得到 性质 1 如 图 1 ， 2 ，2 已知椭圆 + 旨 = 1 ， ( a b 0 ) 的左 ( 右 ) 准线交 轴于 Q， 过 Q 的直线 Z 交椭 圆于 A， 曰两点 ， 过 A ， B的 椭 圆的两 切线 Z 。 ， Z 交 于 P点 ， F为左 ( 右 ) 焦点
3、 ， 则 P F上 轴 2发现 一 二 、 I F 0 x 一 图 1 如 图 2 ， 延 长 f ， f 2分 别 交 准 线 于 M， N 两 点 ， 由 f ： 一 ， j 得点 M 的纵坐标 l X C O S O + y s l，n a = 1 L a 0 Y M 一； r x：一 由 i c+ 得 的 纵 坐 标 一 ( ! 竺 竺 ! 旦 ! ” c s i n 8 。 所 以 Y M“at- Y N - + b c ( s i n O t + s i n 旦 ) +a s i n( + 星 ) 。 。 。 。 。 。 。 c s i n s i n 8 s i n ( e c
4、。 s s ) _ _ 一。 由 性 质 l 的 探 索 过 程 知 ： = 一 詈 ， c 。 s +c 。 s 2=0 ， 所 以 y +y ：o， 即 Q I =I Q 从而得到 性 质 2 如 图 2 ，2 2 ， 已知椭圆 + c ， =1 ( ab0 ) 的左 ( 右) 准 线 交 轴 于 Q ， 过 Q的直线 f 交 椭 圆于 A， 两点 ， 过 A， 曰 的 椭 圆 的两 切 线 z ， ， z ：交准线 = Y P B 、 蟊 图 2 一 ( 或 = ) 于 ， 两点， 则I Q MI =I Q 1 L 3 引申 将结论 引申至双 曲线与抛物线 ， 有 性质3如图3 ， 已
5、知双曲 线 一 鲁= l ( 口 0 ， b 0 ) 的 左 ( 右) 准线交 轴于 Q ， 过 Q的直线 Z 交 双曲线于 ， 两 点 ， 过 A， B的双曲线的两切线 z ， z 交准线 =一 ( 或 = ) 于 ， N两点， 则l Q M 1 =I Q I l V ， Q f=) 图 3 性质 4如图 4 ， 已知抛物线 Y = 2 p x ( P 0 ) 的准线 交 轴 于 Q ， 过 Q的直 线交抛 物线 于 A， 日两点 ， 过 A， B 生 兰 2 卜 2 数学园 地 中。 ? 毒 幺 7 ( 2 0 0 9 年 第 1 2 期 高 中 版 ) 4 1 的抛 物 线 的两 切 线
6、 Z 。 ， 2 ： 交 准 线 ： 一 号 于 M ， 两 点 ， 则 I Q M l =l Q N I 其实 ， 若将点 Q的位置 一般 化 ， 仍 有 上 述 结 论 成 立 2 图 4 性质 5已知椭圆 + a ，2 鲁 = 1 ( 0 b 0 ) ， 直线 z 过定点 Q ( t ， 0 ) ， 且与椭圆交于 0 A ， 日两点， 过 A， B的椭圆的两切线 f 。 ， ! 交直线 ：t 于 ，两点 ， 则 l Q Ml =l Q N1 2 ，2 性质6 已知双曲线 一 告 = 1 ( 口 0 ， b 0 ) ， 直线 “ o z 过定点 Q ( t ， 0 ) ， 且与双曲线交于
7、A， B两点 ， 过 A， B的 双 曲线 的 两 切 线 Z ， Z 交 直 线 =t于 ， J7、 r 两 点 ， 则 l Q M I =l Q N1 性质 7 已知 抛物线 Y = 2 p x ( p 0 ) ， 直 线 Z 过定 点 Q ( t ， 0 ) ， 且与抛物线交于A， 两点， 过 A ， 的抛物线的 两切线f 。 ， z ： 交直线 ： t 于 ， 两点， 则 I Q M l =l Q N1 3推广 在上述探索中， 我们对动直线过定点的情形作了探 究， 那么， 如果是动点在定直线上运动， 是不是也有类似 的结论呢?通过探究， 我们得到如下性质 性 质 8 如 图 5 ， 已
8、知椭圆 + 告 “0 =1 ( a b 0 ) ， 直线 l ： = 上 的 动 点 I 2 p ( x 。 ， y o ) 满 足 + 2 告 1 ， 过点P的椭 I P ， B 0 j 一 图 5 圆的两切线 Z 。 ， Z 交 直线 =t 于 ， 两 点 ， 点 Q( t ， 0 ) ， 则 l Q Ml =I Q NI 证 明设 A ( a C O S ， b s i n ) ， B ( a C O S 卢， b s i n 卢 ) ， 则 P A， P B的方程分别为 xco$+y s i nl：1， X C O S+ ：1 联立解得 点 P的横 坐标为 = 由 2t得 z = S
9、l n S 1 R， 。 ，v一 即 ： acos t - “， 。 ： 0 叭= 。 s o s ： 0 co 一 ， = t， t x c os + ： 1 得 点 M 的 纵 坐 标 6 ( at C O S ) YM ； r t， 由 i + _ 1 得 点 心纵 坐 标 ，一 ( 二 曼 星 2 一 as i n 8 所 以 Y M+Y N- + 一 l_ ( ! 星 2 二 ! ! 旦! 星 2 一 a s i n O ts i n 8 6 2 s i n ( 口 c 。 s 咄 o s ) a s i n s i n 将代人得 + Y = 0 ， 即J Q M l =I Q I
10、同样， 对于双曲线与抛物线 ， 有 2 2 性质 9 如图 6 ， 已知双曲线 一 =l ( 口 0 ， b t 正 U 0 ) ， 直 线z ： ： 上 的 动 点P ( x o ， ) 满 足 X o 一 鲁 1 ， 过 U 点 P的双 曲线 的两切线 Z 。 ， f 交直线 =t 于 ， J ， 两 点 ， 点 Q ( t , O ) ， 点A ， B为切点； 则I Q Mf =l Q NI y 图 6 性质 l O如 图 7 ， 已知 抛物 线 Y =2 p x ( P0 ) ， 直 线Z ： = t 上 的 动 点 P ( o ， Y o ) 满 足 2 2 p x 0 ， 过 点
11、P的 抛物线 的两切线 z 。 ， Z 交 直线 =一t 于 ， 两 点 ， 点 Q (一t ， 0 ) ， 点 A， 为 切点 ， 则 I Q M I =l Q Nf 图7 若对问题作进一步的深入探究： 如果是动点在动直 线上运动， 上述结论还成立吗?通过探究， 我们又得到 如下性 质 性 质 l 1 如 图 8 ， 已 ，2 ，2 知椭圆 + 鲁 =1 ( n b a D 0 ) ， 直线 z 过 点 ( ， ) 且 与椭 圆交 于 A， 日两 点， z ， ， z 分别是椭圆在 A ， 两点 处 的切线 ， 若 ， 分别为直线 f 。 ， z 与直线 M i l l 一 、 j 图 8
12、4 2 中 7 擞- 7 ( 2 0 0 9 年 第1 2 期 高 中 版 ) 短论荟萃 关于三元 平 均的 一 个双 等式 3 5 0 3 0 5 福建省福清市东张中学何灯 本文得到如下关于三个正数 的算术平均数和几何 平均数的一个双边不等式 ： 定 理设 n ， b ， C 0 ， 则有 ( 一 ) +( 一 ) +( 一 ) + 争 + 1 ( 一 ) + ( 一 ) + ( 一 ) 定理证明需要如下 引理 引理 1 ( s c h u r 不等式) 若 ， Y ， 0 ， 为实数 ， 则 ( Y ) ( 一 ) + Y ( y一 ) ( ， ， 一 )+ ( 一 ) ( 一 y ) 0
13、 引理2 若 ， Y ， ： 0 ， 则有 + ) ，6 + + 3 ) ，2 + y 4+y 4 z 2+ + +Z 2 X 证明 +Y + +3 一x 4 y 一x 2 y 一 一 二 一 一 ： = ( 一 ， ，2 ) ( 一 Z,2 ) + y z ( y 2 一 = ) ( 一 ) + ( 一 ) ( 一 y 2 ) ， 由引理 1 知 ， 上式非负， 从而引理2成立 定理证明令 a= z ， b = y 6 ， c = ， 则式左端不等 式等价于 1 ( - y ) +( y 一 z ) +( 一 ) +x 2 y 一 ! 0 乍 +) ， + +3 戈 y 2 z 2 y 3+2 y 7 3+2 z 由弓 f 理 2有 +Y + + 3 x Y y 2 + + +y2 z 4+ 。+2 ，从而只需证明 +戈 y 4+y 4 z 2+y +7, 4 x + 戈 2 y 3+2 y 3 z + 2 z 。 又由均值不等式有 + y 4 2 Y ， y 4 7, 2 + y 2 z 4 2 y ， 7, 4 X +Z 2 X , 2 ，从而式成立， 继而可推导得 式左端不等式成立 同样令 n ： ， b = y 6 ， c = 7 , 6 ， 则式右端不等式等价 于 一 Y z 一 (
