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1、 第二十届华杯赛决赛试题第二十届华杯赛决赛试题 B B（小高组）（小高组） 1 科雅数学：彭泽老师科雅数学：彭泽老师 谷运增老师谷运增老师 杨秀情老师杨秀情老师 彭艳老师彭艳老师 提供详解 校区地址：金河路尊城国际校区地址：金河路尊城国际 1305 小南街小南街 128 号福华新起点五层号福华新起点五层 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B(小学高年级组) 答案及详解 （时间：2015 年 4 月 11 日 10:00-11:30） 答案：答案： 1 2 3 4 5 6 7 11.5 13 106 122 7 9421 和和 1249 11 135 8
2、 9 10 11 12 13 14 4 不能不能 3，12 4 8 60 8 详解：详解： 一、填一、填空题（每小题空题（每小题 1010 分，共分，共 8080 分）分） 1. 计算：57.65828.8518414.4 802111 11.5 详解：详解： =57.658+57.6925-57.6*20+11.5 =57.6*（58+92 5）-57.6*20+11.5 =11.5 2. 甲、乙、丙、丁四人共植树 60 棵，已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树 的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树 13 棵。 详解：详解： 甲甲 其余三人其余三
3、人 a+2a=60 a=20 乙乙 其余三人其余三人 b+3b=60 b=15 第二十届华杯赛决赛试题第二十届华杯赛决赛试题 B B（小高组）（小高组） 2 丙丙 其余三人其余三人 c+4c=60 c=12 丁丁=60-20-15-12=13 3、当时间为 5 点 8 分时，钟表面上的时针与分针成 106 度的角。 详解：详解：5:00 时，分针与时针夹角为时，分针与时针夹角为 25*6=150 过八分钟，分针走过八分钟，分针走 8*6=48，时针走，时针走 8*0.5=4 5:08 时，夹角为时，夹角为 150-（48-4）=106 4. 某个三位数是 2 的倍数，加 1 是 3 的倍数，加
4、 2 是 4 的倍数，加 3 是 5 的倍数，加 4 是 6 的倍数，那么这个数最小为 122 。 详解：这个数除以详解：这个数除以 3 余余 2，除以，除以 4 余余 2，除以，除以 5 余余 2，除以，除以 6 余余 2 N=3.4.5.6n+2=60n+2 最小最小 3 位数为位数为 60*2+2=122 5. 贝塔星球有七个国家， 每个国家恰有四个友国和两个敌国， 没有三个国家两两都是敌国， 对于一种这样的星球局势，共可以组成 7 个两两都是友国的三国联盟 详解：总：详解：总：C3 7=7*6*5 3*2*1=35 三角形中三角形中有有 1 条黑：条黑：3*7=21 三角形中有三角形中
5、有 2 条黑：条黑：7 推出三条边都为红线的三角形有：推出三条边都为红线的三角形有：35-21-7=7 个个 6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为 106656，则这些四 位数中最大的是 9421 ，最小的是 1249。 详解：详解： 设这四个数字为设这四个数字为 abcd 共共 A4 4=4*3*2*1=24 个个 以以 a 开头开头=以以 b 开头开头=以以 c 开头开头=以以 d 开头的个数开头的个数=24/4=6 个个 第二十届华杯赛决赛试题第二十届华杯赛决赛试题 B B（小高组）（小高组） 3 百位，十位，个位每个字母都出现百位，十位，个位每个字母都出现
6、 6 次次 和为和为 b(a+b+c+d)*1111=106656 a+b+c+d=16 abcd 最大为最大为 9421，最小为，最小为 1249 7. 见右图，三角形 ABC 的面积为 1，DO:OB1:3，EO:OA4:5， 则三角形 DOE 的面积为 11 135详解：如图所示，设详解：如图所示，设CDES =X 份份 54 X=AD CD=5 15 X+4+1254 X=5 15 X+4+129 X=20 X+16X =131 11共有共有 20+16+131 11=491 11份份 1 份份=1/491 11=11 540S DOE=四份四份=4*11 540=11 1358. 三
7、个大于 1000 的正整数满足： 其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数 字，那么这三个数之积的末尾三位数字有 4 种可能数值。 详解：这三个数为详解：这三个数为 a、b、c 则则 a+b=c (mod10) a+c=b (mod10) b+c=a (mod10) 得得 a+b=a+a+c=c (mod10) 所以所以 a 的个位是的个位是 0 或或 5，同理，同理，b,c 的个位也是的个位也是 0 或或 5 若个位是若个位是 0、0、0，a*b*c 末三位为末三位为 000 若个位是若个位是 0、5、5，a*b*c 末三位为末三位为 250/750/500 所以有所以有 4 种可
8、能值种可能值 二、解答下列各题（每小题二、解答下列各题（每小题 1010 分，共分，共 4040 分，要求写出简要过程）分，要求写出简要过程） 9. 将 1234567891011 的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由。 第二十届华杯赛决赛试题第二十届华杯赛决赛试题 B B（小高组）（小高组） 4 详解：详解：不能得到完全平方数不能得到完全平方数 因为数字交换不影响数字和，数字和是因为数字交换不影响数字和，数字和是 48 这个数是这个数是 3 的倍数，但不是的倍数，但不是 9 的倍数的倍数 所以这个数所以这个数分解质因数后，分解质因数后，3 的指数是的指数是 1， 所以不是完全
9、平方数所以不是完全平方数 10. 如右图所示，从长、宽、高为 15，5，4 的长方体中切割走一块长、宽、高为 y,5,x 的长 方体（x,y 为整数） ，余下部分的体积为 120，求 x 和 y。 详解：由题意得详解：由题意得 300-5xy=120 x4 y15 由由得：得：x x y=36y=36 满足的只有：满足的只有：x=3,y=12x=3,y=12 11. 圆形跑道上等距插着 2015 面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同 时回到出发点时，甲跑了 23 圈，乙跑了 13 圈。不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子 位置追上乙多少次？ 详解：详解：V甲：V乙=23:13 甲
10、要追上乙，甲要比乙多走甲要追上乙，甲要比乙多走 2015 面旗子面旗子 甲走过的旗子数：甲走过的旗子数：2015*（23-13）*23=4634.5 面面 一共追上：一共追上：23-13=10 次次 第第 N 次追上，甲走次追上，甲走 4634.5 面，要使面，要使 4634.5N 是整数是整数 N 是偶数，是偶数，N=2、4、6、8（N=10 时，在起始点旗子位置追上，应排除）时，在起始点旗子位置追上，应排除） 所以甲正好在所以甲正好在旗子位置上追上乙旗子位置上追上乙 4 次次 12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得 11 分且对方少于 10 分者胜；10分后多得 2 分者
11、胜。两人的得分总和都是 31 分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第第二十届华杯赛决赛试题第二十届华杯赛决赛试题 B B（小高组）（小高组） 5 二局的比分共有多少种可能？ 详解：详解： 设甲赢得比赛，那么甲胜第一局和第三局，负第二局设甲赢得比赛，那么甲胜第一局和第三局，负第二局 设三场比赛的比分是设三场比赛的比分是 a1:b1，a2：b2,a3:b3,则则 a1-b12，a3-b32 a1+ a2+ a3= b1+ b2+ b3得得 b2- a2=（a1-b1）+（a3-b3）4 所以所以 a2：b2有有 0：11，1:11，2:117:11 8 种种，下面构造这，下面构造这 8 种情况：
12、种情况： 甲甲 乙乙 甲甲 乙乙 甲甲 乙乙 甲甲 乙乙 甲甲 乙乙 甲甲 乙乙 甲甲 乙乙 甲甲 乙乙 一一 11:2 11:3 11:4 11:5 11:6 11:7 11:8 11:9 二二 0:11 1:11 2:11 3:11 4:11 5:11 6:11 7:11 三三 20:18 19:17 18:16 17:15 16:14 15:13 14:12 13:11 三、解答下列各题（每小题三、解答下列各题（每小题 1515 分，共分，共 3030 分，要求写出详细过程）分，要求写出详细过程） 13. 如右图所示， 点 M 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上的一点， 且 DM:M
13、C=1:2， 四边形 EBFC 为平行四边形，FM 与 BC 交于点 G。若三角形 FCG 的面积与三角形 MED 的面积之差 为 13cm2，求平行四边形 ABCD 的面积。 详解详解 由上图所标份数可知由上图所标份数可知 MEDS=1 12ABCDS 易知：易知：MB：CF2:3 第二十届华杯赛决赛试题第二十届华杯赛决赛试题 B B（小高组）（小高组） 6 由上图所标份数可知：由上图所标份数可知： FCG S =9 30ABCDS=3 10ABCDS 所以所以 ABCDS =13/（3 10-1 12）=60cm214. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的
14、每个汉字代表 11 个 连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数。如 果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是 21，则“行”可以代表的数最大是多少？ 详解：详解： 11 个连续自然数的和个连续自然数的和+言言+一一+行行+知知+举举=21*4=84 11 个个连续自然数的和是连续自然数的和是 11 的倍数，只能是的倍数，只能是 66 此时，言此时，言+一一+行行+知知+举举=84-66=18 要使行最大，言要使行最大，言+一一+知知+举举=1+2+3+4=10，此时行，此时行=8 所以“行”可以代表的数最大是所以“行”可以代表的数最大是 8，下面构造满足条件的情况：，下面构造满足条件的情况： 一一 家家 之之 言言 4 7 9 1 言言 扬扬 行行 举举 1 10 8 2 举举 世世 皆皆 知知 2 5 11 3 知知 行行 合合 一一 3 8 6 4
