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1、第七模块第七模块 不等式不等式 推理与证明推理与证明 ( (必修必修5 5：第三章：第三章 不等式；选修不等式；选修1 12 2： 第二章第二章 推理与证明推理与证明) ) 第三十一讲第三十一讲 不等关系与不等式不等关系与不等式 名师指导名师指导 练基础练基础 回归课本回归课本 1.1.不等式的定义不等式的定义 在客观世界中在客观世界中, ,量与量之间的不等关系是普遍存在的量与量之间的不等关系是普遍存在的, ,我们用我们用数学符号数学符号 0b0abab;a;a- -b=0b=0a=ba=b;a;a- -b0,b0,则有则有 11abab; =1; =1a=ba=b; b,那么那么bb. 性质
2、性质2:传递性传递性 如果如果ab,且且bc,那么那么ac. 也可等价表示为也可等价表示为: 如果如果cb,那么那么a+cb+c. 推论推论1:移项法则移项法则 如果如果a+bc,那么那么ac-b. 推论推论2:同向可加性同向可加性 如果如果ab,且且cd,那么那么a+cb+d. 性质性质4:乘法法则乘法法则 如果如果ab,且且c0,那么那么acbc; 如果如果ab,且且cb0,且且cd0,那么那么acbd. 推论推论2:2:乘方法则乘方法则 如果如果ab0,ab0,那么那么a an n b bn n(nN(nN* *, ,且且n1).n1). 推论推论3:3:开方法则开方法则 如果如果ab0
3、,ab0,那么那么 (nN(nN* *, ,且且n1).n1). 注意注意: :运用上述性质解决问题时运用上述性质解决问题时, ,必须注意性质成立的条件必须注意性质成立的条件. .如如: :同向不等式相乘时同向不等式相乘时, ,注意注意ab0,cd0.ab0,cd0. nnab考点陪练考点陪练 1.1.已知已知ab,ab,则可以推出则可以推出( )( ) A. A. B.acB.ac2 2bcbc2 2 C. C. D.(ac)D.(ac)2 2(bc)(bc)2 2 答案答案:B:B 11 ab22ab cc2.“a22.“a2且且b2”b2”是“是“a+b4,a+b4,且且ab4”ab4”
4、的的( )( ) A.A.充分非必要条件充分非必要条件 B.B.必要非充分条件必要非充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 答案答案:A:A 3.3.若若x+y0,a0,x+y0,a0,则则x x- -y y的值为的值为( )( ) A.A.大于大于0 B.0 B.等于等于0 0 C.C.小于小于0 D.0 D.符号不能确定符号不能确定 答案答案:A:A 4.4.已知已知a,b,ca,b,c满足满足cac A.abac B.c(bB.c(b- -a)0c)0 答案答案:A:A 11 111.,.,1111.,0)(05.a0,b0,mb,am0,(
5、),.,mABb aabCDbaba 设已知且则的取值范围是 :0,b,a: b,0 , 0,a11,D.ba 解析 因为 的倒数无意义 因此我们先将区间分成两部分分别求倒数可得故选答案答案:D :D 名师讲解名师讲解 练思维练思维 类型一类型一 用不等式表示不等关系用不等式表示不等关系 解题准备解题准备:1.:1.我们用数学符号“我们用数学符号“”、“”、“”、“、“b,ab,或者或者a=b”,a=b”,等价于“等价于“a a不不小于小于b”.b”. 【典例典例1】 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计计划使用不超过划使用不超过1000万元的奖金购
6、买单价分别为万元的奖金购买单价分别为40万元万元 90万元的万元的A型汽车和型汽车和B型汽车型汽车.根据需要根据需要,A型汽车至少买型汽车至少买5辆辆,B型汽车至少买型汽车至少买6辆辆,写出满足上述所有不等关系的不等式写出满足上述所有不等关系的不等式. ABxy4090100049100 55,.66 ,*,*xyxy xx yy x yNx yN 解 设购买 型汽车和 型汽车分别为 辆 辆 则 即 反思感悟反思感悟 (1) (1)将实际的不等关系写成对应的不等式时将实际的不等关系写成对应的不等式时, ,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的
7、数学符号之间的正确转换间的正确转换, ,这关系到能否正确地用不等式表示出不等这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系关系. .常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表: : 文字语言文字语言 数学符号数学符号 文字语言文字语言 数学符号数学符号 大于大于 至多至多 小于小于 ”、“、“b0,cd0.深刻理解不等式的性质时深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑把握其逻辑关系关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题. 【典例典例2 2】 下列各命题是否成立下列各命题是否成立? ?如不成立如不成立, ,能否
8、适当添加能否适当添加条件使命题成立条件使命题成立? ? (1)(1)若若acac2 2bcbc2 2, ,则则ab;ab; (2)(2)若若ab,ab,则则- -acac- -bc;bc; (3)(3)若若ab,ab,则则 (4)(4)若若ab,cd,ab,cd,则则acbd.acbd. 11;ab 解解 (1) (1)命题成立命题成立 (2)“c0”(2)“c0” (4)(4)需添加“需添加“c0,b0”c0,b0”或“或“a0a0且且d0”d0”或“或“c0c0且且b0”b0”可可使命题成立使命题成立. .对照不等式的运算性质对照不等式的运算性质, ,还可添加“还可添加“b0b0且且d0”
9、d0”也可使命题成立也可使命题成立. . 类型三类型三 比较大小比较大小 解题准备解题准备: :作差法比较大小的步骤是作差法比较大小的步骤是: : 作差作差变形变形判断差的符号判断差的符号下结论下结论. . 作商法比较大小的步骤是作商法比较大小的步骤是: : 作商作商变形变形判断商与判断商与1 1的大小的大小下结论下结论. . 其中变形是关键其中变形是关键, ,变形方法主要是通分、因式分解和配方等变形方法主要是通分、因式分解和配方等, ,变形要彻底变形要彻底, ,要有利于与要有利于与0 0或或1 1比较大小比较大小. . 22,21,1123ab,A G H Q.2abAGababHQab 【
10、典例 】设 、 是不相等的正数试比较 的大小2a,b,H22 11()2(2)()0,G;abGHababab ab abababab aabb abab abab ab 解为不相等的正数即2222222GA;AQ.,ab,HGA2()0,2222() 224220,42 Q.abaabbabAGabababababQAaabbab由即由即综上可知 当 、 是不相等的正数时类型四类型四 利用不等式的性质求范围利用不等式的性质求范围 解题准备解题准备:1.:1.在处理此类问题时在处理此类问题时, ,严格根据不等式的基本性质严格根据不等式的基本性质和运算法则和运算法则, ,是正确解答此类题目的保证
11、是正确解答此类题目的保证. . 2.2.此类问题中的参数不是相互独立的此类问题中的参数不是相互独立的, ,而是相互制约的而是相互制约的, ,故不故不可分割开来可分割开来. .应先建立待求范围的整体与已知范围的整体应先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系的等量关系, ,最后通过“一次性”不等式关系的运算求得最后通过“一次性”不等式关系的运算求得待定整体的范围待定整体的范围. .这是避免此类题目出错的一条途径这是避免此类题目出错的一条途径. . 【典例典例4 4】 设设f(x)=axf(x)=ax2 2+bx,1f(+bx,1f(- -1)2,1)2, 2f(1)4,2f(1)4,求求f(
12、f(- -2)2)的取值范围的取值范围. . 分析分析 利用利用f(f(- -1)1)与与f(1)f(1)表示出表示出a,b,a,b,然后再代入然后再代入f(f(- -2)2)的表的表达式中达式中, ,从而用从而用f(f(- -1)1)与与f(1)f(1)表示表示f(f(- -2),2),最后运用已知条件最后运用已知条件确定确定f(f(- -2)2)的取值范围的取值范围. .此题还可用线性规划求解此题还可用线性规划求解. . :f2mf1nf 1 (m,n),4a2bm abn ab ,4a2bmn anm b,f23f1f 1 .1f12,24f 14,53f1f 110,5f3,.,212
13、10mnm nmn 解 解法一 设为待定系数则即于是得解得又故 1 ( 1)(1)( 1)2,(1)1 (:f24a2b3f1f 1 .1f12,2f1)( 1)14,53f1f 110,5f2210.afffab fabbff 解法二 由得又故 :,f24a2b,4f24a2b12B 3,1,4 32 110,5f210243 1,2 2 3125,2.2ab abA 解法三 由确定的平面区域如图当过点时取得最小值当过点时取得最大值 33122,243026412,3:34a2b 1230f2122aab abba b 反思感悟 此题易有如下错误解法由得到再由不等式性质 得进而得 即 a,ba,b12 24332 30.2ab abab 错误原因是满足的点的集合与满 足的点的集合 不等价 名师纠错名师纠错补漏洞补漏洞 错源错源 链式不等式组认识不到位链式不等式组认识不到位 2_.,22【典例】若则的取值范围是2,22,22 33 22.2 错解 剖析剖析 因为条件中有因为条件中有 0,a1,a0,a1,试比较试比较|log|loga a(1(1-
