《2019版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数ⅰ2.4二次函数性质的再研究与幂函数学案理北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数ⅰ2.4二次函数性质的再研究与幂函数学案理北师大版（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.42.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数最新考纲考情考向分析1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题3.了解幂函数的概念4.结合函数yx，yx2，yx3，y ，y1 x1 2x的图象，了解它们的变化情况.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标
2、为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0，当Error!时，恒有f(x)bc且abc0，则它的图像可能是( )答案 D解析 由abc0 和abc知，a0，c0，排除 C.6已知函数yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则m的取值范围为_答案 1,2解析 如图，由图像可知m的取值范围是1,2题型一题型一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对任意xR R，都有f(1x)f(1x)成立，则f(
3、x)的解析式为_答案 f(x)x22x3解析 由f(0)3，得c3，又f(1x)f(1x)，函数f(x)的图像关于直线x1 对称， 1，b2，b 2f(x)x22x3.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.答案 x22x5解析 设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，4a 04a2 4a得a1，所以f(x)x22x.思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR R 且a0)，xR R，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa
4、)(bx2a)(a，bR R)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案 (1)x22x1 (2)2x24解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称，a，即b2，f(x)2x22a2，(2a b)又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.题型二题型二 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质命题点 1 二次函数的图像典例 (2017郑州模拟)对数函数ylogax(a0 且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图像可能
5、是( )6答案 A解析 当 0a1 时，ylogax为减函数，y(a1)x2x开口向下，其对称轴为x0，排除 C，D；当a1 时，ylogax为增函数，y(a1)x2x开口向上，其对12a1称轴为x0，排除 B.故选 A.12a1命题点 2 二次函数的单调性典例 函数f(x)ax2(a3)x1 在区间1，)上是减少的，则实数a的取值范围是( )A3,0) B(，3C2,0 D3,0答案 D解析 当a0 时，f(x)3x1 在1，)上递减，满足题意当a0 时，f(x)的对称轴为x，3a 2a由f(x)在1，)上是减少的知Error!解得3a0.综上，a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax
6、2(a3)x1 的递减区间是1，)，则a_.答案 3解析 由题意知f(x)必为二次函数且a2xm恒成立，则实数m的取值范围是_答案 (，1)解析 f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0 在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于 0 即可g(x)x23x1m在1,1上是减少的，g(x)ming(1)m1.由m10，得m0，则实数a的取值范围为_答案 (1 2，)解析 由题意得a 对 1x4 恒成立，2 x2 x29又 22 ， 1，2 x2 x2(1 x1 2)1 21 41 xmax ，a .(2
7、x2 x2)1 21 2题型三题型三 幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质1幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)是( )3A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数答案 D解析 设幂函数的解析式为yx，将(3，)代入解析式得 3，解得 ，y331 21 2x，故选 D.2若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )AdcbaBabcdCdcabDabdc答案 B解析 由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x轴
8、，由题图知abcd，故选 B.3若(2m1)1 2(m2m1)1 2，则实数m的取值范围是( )A. B.(， 512512，)C(1,2) D.512，2)答案 D解析 因为函数y1 2x的定义域为0，)，10且在定义域内为增函数，所以不等式等价于Error!解 2m10，得m ；1 2解m2m10，得m或m. 512512解 2m1m2m1，得1f(x2)Cf(x1)0，又x1x20，当x1，x2在对称轴的两侧时，x1x2 ，故f(x1)”连接)(2 5)(1 2)答案 PRQ解析 P3 223，根据函数yx3是 R R 上的增函数，且 ，得333，(22)221 22 5(22)(1 2
9、)(2 5)即PRQ.138已知幂函数f(x)x，当x1 时，恒有f(x)1 时，恒有f(x)1 时，函数f(x)x的图像在yx的图像的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图像(图略)，由图像可知0，a x1故 00 时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)2，1 2m恒成立，则mn的最小值为_答案 1解析 f(x)为偶函数，当x0，f(x)f(x)(x1)2(x1)2，当x时，f(x)max1，f(x)min0，2，1 20f(x)1，m1，n0，(mn)min1.1412已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上
10、的最大值为 1，求实数a的值解 (1)当a2 时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴x 2,3，3 2f(x)minf 3，(3 2)9 49 221 4f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.21 4，15(2)对称轴为x.2a1 2当1，即a 时，2a1 21 2f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a 满足题意；1 3当1，即a 时，2a1 21 2f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1 满足题意综上可知，a 或1.1 313已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围为( )A，
11、B1，222C2,3 D1,2答案 B解析 由于函数f(x)x22tx1 的图像的对称轴为xt，函数f(x)x22tx1 在区间(，1上是减少的，t1.当x0，t1时，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，只需 1(t21)2，解得t.2215又t1，1t.故选 B.214当x(1,2)时，不等式x2mx41，即a2 时，f(x)在上是减少的，在上是增加的，不合题意；a 21，a 2)(a 2，)当 0 1，即 0a2 时，符合题意；a 2当 0，则x0)，f(x)Error!(3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为xa1，当a11，即a0 时，g(1)12a为最小值；当 12，即a1 时，g(2)24a为最小值综上，g(x)minError!
