《2019版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数ⅰ2.3函数的奇偶性与周期性学案理北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数ⅰ2.3函数的奇偶性与周期性学案理北师大版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.32.3 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数2判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称(2)考察表达式f(x)是否
2、等于f(x)或f(x)：若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期知识拓展1函数奇偶性常用结论2(1)如果函数f(
3、x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)1fx(3)若f(xa)，则T2a(a0)1fx题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点( )(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称( )(3)函数f(x)在定义域上满足f
4、(xa)f(x)，则f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数( )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ Z，n0)也是函数的周期( )题组二 教材改编2已知函数f(x)是定义在 R R 上的奇函数，且当x0 时，f(x)x(1x)，则f(1)_.答案 2解析 f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3设f(x)是定义在 R R 上的周期为 2 的函数，当x1,1)时，f(x)Error!则f _.(3 2)答案 1解析 f f 4221.(3 2)(1 2)(1 2)4设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5
5、时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0 的解集为_3答案 (2,0)(2,5解析 由图像可知，当 0x2 时，f(x)0；当 2x5 时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0 时，f(x)0，当5x0.综上，f(x)0 的解集为(2,0)(2,5题组三 易错自纠5已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是( )A B. C D.1 31 31 21 2答案 B解析 依题意得f(x)f(x)，b0，又a12a，a ，ab ，故选 B.1 31 36偶函数yf(x)的图像关于直线x2 对称，f(3)3，则f(1)_.答案 3解析 f(x)为偶函数，f(1)f(1
6、)又f(x)的图像关于直线x2 对称，f(1)f(3)f(1)3.题型一题型一 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性典例 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；3x2x23(2)f(x)；lg1x2|x2|2(3)f(x)Error!解 (1)由Error!得x23，解得x，3即函数f(x)的定义域为，33f(x)0.3x2x23f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数4(2)由Error!得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).lg1x2x又f(x)f(x)，lg1x2xlg1x2x函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域
7、为(，0)(0，)，关于原点对称当x0 时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0 时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )Ayxsin 2x Byx
8、2cos xCy2x Dyx2sin x1 2x答案 D解析 对于 A，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，为奇函数；对于 B，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，为偶函数；对于 C，f(x)2x2xf(x)，为偶函数；1 2x1 2x对于 D，yx2sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选 D.(2)函数f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0 且a1)，则函数F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)的奇偶性是( )AF(x)是奇函数，G(x)是奇函数BF(x)是偶函数，G(x)是奇函数CF(x)是偶函数，G(x)是偶函数5DF(x
9、)是奇函数，G(x)是偶函数答案 B解析 F(x)，G(x)定义域均为(2,2)，由已知F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)，G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)，F(x)是偶函数，G(x)是奇函数题型二题型二 函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用1(2017西安一模)奇函数f(x)的定义域为 R R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为( )A2 B1 C1 D2答案 A解析 f(x1)为偶函数，f(x1)f(x1)，则f(x)f(x2)，又yf(x)为奇函数，则f(x)f(x)f(x2)，且f(0)0.从而
10、f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为 4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.2(2017山东)已知f(x)是定义在 R R 上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.答案 6解析 f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为 6 的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在 R R 上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.3定义在 R R 上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f
11、(x)于是x0，f(x2)，对任意xR R 恒成立，则1fxf(2 019)_.答案 1解析 因为f(x)0，f(x2)，1fx所以f(x4)f(x2)21fx2f(x)，1 1fx即函数f(x)的周期是 4，所以f(2 019)f(50541)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 019)f(1)f(1)当x1 时，f(12)，得f(1).1f11f1由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 019)f(1)1.14设函数f(x)是定义在 R R 上的偶函数，且对任意的xR R 恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)2x，则有2 是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,
12、2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；函数f(x)的最大值是 1，最小值是 0.其中所有正确命题的序号是_答案 解析 在f(x1)f(x1)中，令x1t，则有f(t2)f(t)，因此 2 是函数f(x)的周期，故正确；当x0,1时，f(x)2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确；16由知，f(x)在0,2上的最大值f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值f(x)minf(0)f(2)201 且f(x)是周期为 2 的周期函数，f(x)的最大值是 2，最小值是 1，故错误15(201
13、7东北四市联考)已知f(x)是 R R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0x2 时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点个数为_答案 7解析 因为当 0x2 时，f(x)x3x.又f(x)是 R R 上最小正周期为 2 的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点有 7 个16函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解 (1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.1 2令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2 等价于f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数，0|x1|16，解之得15x17 且x1，x的取值范围是x|15x17 且x1
