《2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数学案文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数学案文（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.42.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数知识梳理1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质22幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)常见的 5 种幂函数的图象(3)常见的 5 种幂函数的性质3诊断自测1概念思辨(1)当0 恒成立的充要条件是Error!( )(3)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.( )4acb2 4a(4)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角
2、坐标系中的开口大小( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A1P44T9)函数y(x23x10)1的递增区间是( )A(，2)B(5，)C. D.(，3 2)(3 2，)答案 C解析 由于x23x100 恒成立，即函数的定义域为(，)，设tx23x10，则yt1是(0，)上的减函数，根据复合函数单调性的性质，要求函数y(x23x10)1的递增区间，即求tx23x10 的单调递减区间，4tx23x10 的单调递减区间是，(，3 2)则所求函数的递增区间为.故选 C.(，3 2)(2)(必修 A1P78探究) 若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象
3、如图，则a，b，c，d的大小关系是( )AdcbaBabcdCdcabDabdc答案 B解析 幂函数a2，b ，c ，d1 的图象，正好和题目所给的形式相符合，1 21 3在第一象限内，x1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.3小题热身(1)(2017济南诊断)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k( )(1 2，22)A.B1 1 2C.D23 2答案 C解析 由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得 ，从而(1 2)22(1 2)221 2k .故选 C.3 2(2)函数f(x)x2axa在0,2上的最大值为 1，则实数a等于( )A1B1C2D2答案 B解析
4、 解法一：(分类讨论)当对称轴x 1，即a2 时，f(x)maxf(2)a 243a1，解得a1 符合题意；当a2 时，f(x)maxf(0)a1，解得a1(舍去)综上所述，实数a1.故选 B.5解法二：(代入法)当a1 时，f(x)x2x1 在0,2上的最大值为f(2)71，排除 A；当a1 时，f(x)x2x1 在0,2上的最大值为f(2)1，B 正确；当a2时，f(x)x22x2 在0,2上的最大值为f(2)101，排除 C；当a2 时，f(x)x22x2 在0,2上的最大值为f(0)f(2)21，排除 D.故选 B.题型 1 幂函数的图象与性质(2017长沙模拟)已知函数f(x)x，则
5、( )典例1 Ax0R R，使得f(x)f(x2)根据幂函数的性质逐项验证答案 B解析 由函数f(x)x，知：在 A 中，f(x)0 恒成立，故 A 错误；在 B 中，x0，)，f(x)0，故 B 正确；在 C 中，x1，x20，)，x1x2，都有0，故 C 错误；fx1fx2x1x2在 D 中，当x10 时，不存在x20，)使得f(x1)f(x2)，故 D 不成立故选 B.(2018荣城检测)已知函数f(x)Error!典例2若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_用数形结合法答案 (0,1)解析 作出函数yf(x)的图象如图则当 00)，g(x)logax的图象可能
6、是( )答案 D解析 因为a0，所以f(x)xa在(0，)上为增函数，故 A 错误；在 B 中，由f(x)的图象知a1，由g(x)的图象知 01，矛盾，故 C 错误；在 D 中，由f(x)的图象知 01 时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是增函数，f(x)maxf(1)12a1aa，a2.综上可知，a1 或a2.故选 D.2若二次函数f(x)ax2bxc(a0)，满足不等式f(x)2x0 的解集为x|10 的解集为(1,3)，设f(x)2xa(x1)(x3)，且a0 的解集为x|20 的解集为x|2xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围解 (1)由题意得f(1)ab10，a0，且1，
7、a1，b2.f(x)x22x1，b 2a单调减区间为(，1，单调增区间为1，)(2)解法一：f(x)xk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.kxk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1k0 在区间3，1上恒成立，设g(x)x2x1k，则g(x)在3，1上单调递减，g(1)0，得kc1 的解集为(m4，m1)，则实数c的值为_答案 21 4解析 函数f(x)x2axb(a，bR R)的值域为(，0，0，即a24b0，b.a2 4关于x的不等式f(x)c1 的解集为(m4，m1)，方程f(x)c1
8、的两根分别为m4，m1，即方程x2axc1 两根分别为m4，m1，a2 4方程x2axc1 根为x ，a2 4a 21c两根之差为 2(m1)(m4)5，1c12c.21 41.(2017昆明质检)若函数yx23x4 的定义域为0，m，值域为，则25 4，4m的取值范围是( )A0,4B3 2，4C. D.3 2，)3 2，3答案 D解析 二次函数图象的对称轴为x ，且f，f(3)f(0)4，由图得m3 2(3 2)25 4.故选 D.3 2，32(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm( )A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无
9、关，且与b无关D与a无关，但与b有关答案 B解析 设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mx解法一：ax1b，Mxax2b.2 12 2Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关故选 B.2 22 1由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一解法二：定随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动，则Mm的值在变化，故与a有关故选 B.3(2018枣庄模拟)已知函数f(x)是定义在 R R 上的偶函数，当x0 时，f(x)x22
10、x，如果函数g(x)f(x)m(mR R)恰有 4 个零点，则m的取值范围是_答案 (1,0)13解析 函数g(x)f(x)m(mR R)恰有 4 个零点可化为函数yf(x)的图象与直线ym恰有 4 个交点，作函数yf(x)与ym的图象如图所示，故m的取值范围是(1,0)4(2018皖南模拟)已知函数f(x)x22x1，如果使f(x)kx对任意实数x(1，m都成立的m的最大值是 5，则实数k_.答案 36 5解析 设g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由题意知g(x)0 对任意实数x(1，m都成立的m的最大值是 5，所以x5 是方程g(x)0 的一个根，即g(5)0，可以解得k(经检验满足题
11、意)36 5基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017江西九江七校联考)幂函数f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上为增函数，则m的值为( )A1 或 3B1C3D2答案 B解析 由题意知m24m41 且m26m80m1，故选 B.2(2018吉林期末)如果函数f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )AaBa1 41 4C a0 时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(，4)上不可能是单调递增的，故不符合；当a4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图象，当x1 时，y0，即b 2aabc0，
12、错误；由对称轴为x1，知b2a.又函数图象开口向下，所以a0 时，x2，综上可知有三解故选 D.7二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的xR R 都有f(x)f(4x)成立，若f(12x2)12xx2，解得23C13答案 B解析 f(x)x2(a4)x42a(x2)a(x24x4)记g(a)(x2)a(x24x4)，由题意可得Error!即Error!解得x3.故选 B.9已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，则b的取值范围为( )A2，2 B(2，2)2222C1,3D(1,3)答案 B解析 由题可知f(x)ex11，g(x)x24x3(x2)211，若有
13、f(a)g(b)，则g(b)(1,1，即b24b31，解得 20 恒成立，则实数a的取值范围为_答案 (1 2，4)解析 因为f(x)x22(a2)x4，对称轴x(a2)，对x3,1，f(x)0 恒成立，所以讨论对称轴与区间3,1的位置关系得：Error!或Error!或Error!解得a或 1a4 或 0，02tx在|t|2 时恒成立，求实数x的取值范围(1 )解 (1)由知f(x)ax2bx(a0)的对称轴方程是x1，b2a.函数f(x)的图象与直线yx相切，方程组Error!有且只有一解，即ax2(b1)x0 有两个相等的实根(b1)20，b1，2a1，a .1 2函数f(x)的解析式为f(x)x2x.1 2(2)1，f(x)2tx等价于f(x)tx2.(1 )x2xtx2 在|t|2 时恒成立等价于一次函数g(t)xt3.55实数x的取值范围是(，3)(3，)5516已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR R，cR R)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)Error!求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1 在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解 (1)由已知c1，abc0，且1，b 2a解得a1，b2，f(x)(x1)2.
