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1、 基本三角函数基本三角函数 a 2aa 2a、 a 2a、 a 2a、 a 2a、 任意角三角函数： 设a是一个任意大小的角,在角a的终边上取不与原点重合的任意一点),(yxP，它与原点的距离02222+=+=yxyxrOP. 则角a的正弦、余弦、正切的定义分别为： ry=asin rx=acos xy=atan uu 终边落在终边落在 x x 轴上的角的集合轴上的角的集合：z=kkpaa, vv 终边落在终边落在 y y 轴上的角的集合轴上的角的集合：+=zkpkpaa,2ww 终边落在坐标轴上的角的集合终边落在坐标轴上的角的集合： =zkpkaa,2xx 22121rrlSrlaa=弧度度
2、弧度弧度弧度度180180118012360.pppp= 诱导公式诱导公式u 终边相同的角的三角函数值相等 () () ()zk , tan2tanzk , 2zk , 2=+=+=+apaapaapakCoskCosSinkSinv 轴对称关于与角角xaa- () () ()aaaaaatantan-=-=-=- CosCosSinSinw 轴对称关于与角角yaap- () () ()aapaapaaptantan-=-=-=-CosCosSinSinx 关于原点对称与角角aap+() () ()aapaapaaptantan=+-=+-=+CosCosSinSinzz 基本三角函数符号记基
3、本三角函数符号记 忆忆： “一全一全，二正弦二正弦，三切三切，四四 余弦余弦” y对称关于与角角xy =-aap 2aapaapaapcot2tan22=-= -= -SinCosCosSinz aapaapaapcot2tan22-=+-=+= +SinCosCosSin上述的诱导公式记忆口诀上述的诱导公式记忆口诀： “奇变偶不变奇变偶不变，符号符号看象限看象限” 周期问题周期问题 u ()()()()()()wpwjwwpwjwwpwjwwpwjwwpwjwwpwjw2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0
4、, 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , =+=+=+=+=+=+=xACosyxASinyxACosyxASinyxACosyxASinyv ()()()()wpwjwwpwjwwpwjwwpwjw=+=+=+=+=T , 0 , 0A , cotT , 0 , 0A , tanT , 0 , 0A , cotT , 0 , 0A , tanxAyxAyxAyxAy 三角函数的性质三角函数的性质 性性 质质 xSiny =xCosy =定义域定义域 R R R R 值值 域域 1 , 1- 1 , 1- 周期性周期性 p2 p2 奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数
5、偶函数 单调性单调性 减函数增函数,232 ,22,22 ,22zkkkzkkk + +-pppppppp 减函数增函数,2 ,2,2 ,2zkkkzkkk+-pppppp对称中心对称中心 ()zkk,0 ,p zkk +,0 ,2pp 对称轴对称轴 zkkx+=,2pp zkkx=,p 图图 像像 54321-1-2-3-4-5-6y-8-6-4-22468xO /2 2 - -2 3 /2- /2-3 /254321-1-2-3-4-5y-8-6-4-22468xO /23 /2- /2-3 /2 - -2 2 性性 质质 xy tan=xy cot=定义域定义域 +zxxkpkp,2zx
6、xkkp,值值 域域 R R R R 周期性周期性 p p 奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 奇函数奇函数 单调性单调性 增函数,2,2zkkk+-pppp()增函数,zkkk+ppp 对称中心对称中心 ()zkk,0,p zkk +,0,2pp对对称轴称轴 无无 无无 图图 像像 -15-10-551015x108642-2-4-6-8-10yO /23 /2- /2-3 /2 - w ()kxASinySinxy+=jw变化为怎样由 ？ 振幅变化：Sinxy = ASinxy = 左右伸缩变化： xASinyw= 左右平移变化 )(jw+=xASiny 上下平移变化 kxASiny+=)(jw
7、平面向平面向量共线定理量共线定理：一般地一般地，对于两个向量对于两个向量 ()如果有,0,baa ()是共线向量与是共线向量；反之如果与则使得一个实数ababaab,0,=ll x y 0 线段定比分点坐标公式 ll +=121xxx ll +=121yyy 线段定比分点向量公式 . 线段中点坐标公式 线段中点向量公式 . 221OPOPOP+=.,abll=使得那么又且只有一个实数 线段的定比分点线段的定比分点 点P分有向线段21PP所成的比的定义式21PPPPl= . ll +=121OPOPOP 当1=l时 当1=l时 221yyy+= 向量的一个定理的类似推广向量的一个定理的类似推广
8、向量共线定理： ()0 =aabl 推广 平面向量基本定理： += 不共线的向量为该平面内的两个其中21 2211, eeeeall推广 空间向量基本定理： +=不共面的向量为该空间内的三个其中321332211, eeeeeealll一般地一般地，设向量设向量()()aayxbyxa如果且, 0,2211=01221=-yxyxb那么 反过来反过来，如果如果ayxyx则, 01221=-b. 一般地一般地，对于两个非零向量对于两个非零向量ba, 有有 qCosbaba=，其中其中为两向量的夹角为两向量的夹角。 2 22 22 12 12121 yxyxyyxxbabaCos+=q 221xx
9、x+=特别的特别的， 22aaaaaaa=或者 ()()0 , , 0 , , , 212121212211=+=yyxxbayyxxbaayxbyxa特别的则且如果 0O , 2121=+ + nnOAOAAOAAAn则的中心为边形若正 三角形中的三角问题三角形中的三角问题 u 2- 22, 22, CBACBACBAppp=+=+=+()( )()( )= += +-=+=+22Cos2Cos2CCosCos CSinBACBASinBACSinBASin三角公式以及恒等变换三角公式以及恒等变换 u 两角的和与差公式两角的和与差公式：() ()()( S , S , baba bababa
10、bababa-+ -=-+=+SinCosCosSinSinSinCosCosSinSin()()()() )()()()(T , tantan1tantantanT , tantan1tantantanC , C , babababababababababababababababa-+-+-=-+=+=-=+SinSinCosCosCosSinSinCosCosCos变形变形： ()() ()()为三角形的三个内角其中cbacbacbababababababa,tantantantantantantantan1tantantantantan1tantantan=+-=-+=+v 二倍角公式二
11、倍角公式：aaaaaaaaaaa22222tan1tan22tan2112222-=-=-=-=SinCosSinCosCosCosSinSinw 半角公式半角公式： 21 221 2aaaaCosCosCosSin+=-=aa aa aaa SinCos CosSin CosCos-=+=+-=1 111 2tanx 降幂扩角公式降幂扩角公式： 221, 22122aaaaCosSinCosCos-=+= 万能公式万能公式: : 2tan12tan12tan12tan2222aaaaaa+- =+=CosSin( ( +-+CTS ) ) 2tan12tan2 tan 2aaa -=u辅助角
12、公式辅助角公式sincosabaa+=22sin()abaj+( tanb aj= ). 补充补充： 1. 1. 由公式由公式 ()() )()(T , tantan1tantantanT , tantan1tantantanbabababababababa-+-=-+=+可以推导可以推导 ：()()2tan1tan1 , z , 4=+=+bakpkpba时当 在有些题目中应用广泛。 2. 2. ()()babababa+=+tantantantantantan 补充补充 1常见三角不等式： （1）若(0,)2xp，则sintanxxx. (2) 若(0,)2xp，则1sincos2xx+.
13、 (3) |sin|cos| 1xx+. 2. 22sin()sin()sinsinababab+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cossinababab+-=-. 3.三角形面积定理：（1）111 222abcSahbhch=（abchhh、 、分别表示 a、b、c 边上的高）. （2）111sinsinsin222SabCbcAcaB=. 5.三角形内角和定理 在ABC 中，有()ABCCABpp+=-+222CABp+=-222()CABp=-+. 6. 正弦型函数)sin(fw+=xAy的对称轴为)(2Zkk x-+ =wfpp；对称中心为)(0 ,(Zkk- wfp；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心； 三三易错点提示易
