《考研线性代数笔记精华行列式和矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研线性代数笔记精华行列式和矩阵（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1线代框架之行列式和矩阵注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.( )000 ,nTA r An A A AxxAxAAx A A AE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R R12 ,siAp pppnBABEABE 是初等阵存在阶矩阵使得 或 nnR Rn注：( )0A r An AAA AxA 不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解, 其基础解系即为关于0的 特征向量()()0a br aEbAnaEbAaEbA x 0有非零解=- 具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同 关于：12,
2、ne ee称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；nAnA线性无关；12,ne ee；12,1ne ee2；tr =E n任意一个维向量都可以用线性表示.n12,ne ee行列式的定义 1 2121 21112121222() 1212()nnnnnj jj njjnj j jjnnnnaaa aaaDa aaaaa 1 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若都是方阵（不必同阶）,则AB与=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO
3、 1上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线：(1) 2112121 12111()n nnnnn nnnnnaOa aaa aaaOaO 13范德蒙德行列式：12 222 12 1111 12nijn n ijnnn nxxx xxxxxxxx 111矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或m nmn111212122212nnmmmnaaa aaaAaaa m n ijm nAam nA伴随矩阵 ，为中各个元素的代数余子式. 1121112222*12nTn ijnnnnAAAAAAAAAAA ijAA 逆矩阵的求法: 注： 1AAA 1abdb cdc
4、aadbc11()()A EE A 初等行变换 12311 11 213aaaa a a 32111 11 213aaaa a a 方阵的幂的性质： mnm nA AA()( )mnmnAA4 设的列向量为,的列向量为，,m nn sABA12,n B12,s 则 ，为的解m sABC1112121222 121212,ss nsnnnsbbbbbbc ccbbb iiAc(, )is1, 2iiAxc可由线性表示. 同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系 121212,sssAAAAc cc 12,sc cc12,n CBTA数矩阵. 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次
5、乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD分块矩阵的逆矩阵： 111AA BB111AB BA1111ACAA CB OBOB1111AOAO CBB CAB分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222A BABA B5分块对角阵的伴随矩阵：*ABABAB 矩阵方程的解法()：设法化成 0A AXBXAB(I ) 或 (I I )A BE X 初等行变换(I )的解法：构造()()TTTTA XBXX(I I )的解法：将等式两边
6、转置化为，用(I )的方法求出，再转置得矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.m nAl nB PQBQ 判断是的基础解系的条件：12,s 0Ax 线性无关；12,s 都是的解；12,s 0Ax .( )snr A 每个解向量中自由未知量的个数 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.114p教材 向量组中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,n i(1i)n 向
7、量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个12,n n1向量线性表示.6向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.12,n in1维列向量组线性相关；m12,n ( )r An维列向量组线性无关.m12,n ( )r An.( )r AAO0 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.12,n 12,n 12,n 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非0零元为 1，且这些非零元所在列
8、的其他元素都是时，称为行最简形矩阵0 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘；AA对施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘.AA若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；Am n( )min,r Am n( )r AmA若，的列向量线性无关,即：线性无关.( )r AnA12,n 初等矩阵的性质：7( , )E i j 1
9、( )E i kk , ( )E i j k1( , )( , )TE i jE i j ( ) ( )TE i kE i k , ( ) , ( )TE i j kE j i k1( , )( , )E i jE i j11 ( ) ( )kE i kE i1 , ( ) , ()E i j kE i jk*( , )( , )E i jE i j *1 ( ) ( )kE i kkE i* , ( ) , ()E i j kE i jk8矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB A()TTkAkATAA()TTTABAB11()()TTAA()()TTAA矩阵可逆的性质：11()AA1
10、11()ABB A111()kAk A11AA111()ABAB11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA ()ABB A1()nkAkA1nAA*()ABAB11()()A AAA ()()kkAA( ) ()1 ( )1 0 ( )1 nr An r Ar An r An 若 若 若ABA BnkAkAkkAAABABAAA AA E（无条件恒成立）9标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.nn.与正交( ,)0 是单位向量 .( , )1 内积的性质： 正定性：( , )0,( , )0 且 对称性：( ,)( , ) 双线性：1212( ,)( ,)( ,) 1212(,)(,)(,) (,)( ,)( ,)ccc 正交矩阵 TAAE 为正交矩阵的个行（列）向量构成的一组标准正交基.AAnnA 正交矩阵的性质： ；1TAA ；TTAAA AE 正交阵的行列式等于 1 或-1； 是正交阵,则，也是正交阵；ATA1A 两个正交阵之积仍是正交阵； 的行（列）向量都是单位正交向量组.A
