《考研线性代数笔记精华特征值特征向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研线性代数笔记精华特征值特征向量（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线代框架之特征值与特征向量1.定义定义：nnA 设是阶矩阵，如果存在一个数及非零的维列向量，使得A =成立，则称是矩阵A的一个特征值，称非零向量是矩阵A属于的特征矩阵 .的特征多项式 .的特征方程 特征值的一个特征向量。AEAA( )EAfAEA 0计算特征值的方法计算特征值的方法：A0E A0E Ax 由=，有（-）=0，是齐次方程组（-）=0的非零解。（1）先由求矩阵 A 的特征值（共（共 n 个即几阶矩阵有几个，注意：个即几阶矩阵有几个，注意：算出的值用检验，以免计算错误）E A|-=0iiii（2）再由求基础解系，即矩阵 A 属于特征值的线性无关的特征向量。iE A|x|-=0i性质：
2、（性质：（1）222,.Akk.kkk.ktttA 111如果都是矩阵的属于特征值的特征向量，那么当非零时，仍是矩阵属于特征值的特征向量（2）12AnA;(2)|,.iiiimA设是阶矩阵，是矩阵的特征值，则(1)（3）。12m2m2A,.,.,.m 11如果是矩阵的互不相同的特征值，分别是与之对应的特征向量，则线性无关（4） iiAnAmm如果是阶矩阵，是的重特征值，则属于的线性无关的特征向量的个数不超过个常用结论：（常用结论：（1） 注意，注意，上三角，下三角，对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。nn-1nii i 1n|(AEA 一般地，为阶矩阵，R （A）=1，）1 231122
3、1A,P APTAmmkAk aAbEabAA A AA 是的特征值则:分别有特征值 1 23112211,PPAmmkkA abaAbE AAA A AAP 是关于的特征向量则也是关于的特征向量注意：才是关于的特征向量注：注：的特征向量不一定是的特征向量不一定是的特征向量的特征向量. . （反过来则成立）（反过来则成立）与与有相同的特征值，但特征向量不一定相同有相同的特征值，但特征向量不一定相同. .2,mAAAATA常用结论（常用结论（2 2）是计算特征值的特殊方法）是计算特征值的特殊方法间接法的依据，利用相关联矩阵的特征值、特征向量之间的关系求解，计算量小间接法的依据，利用相关联矩阵的特
4、征值、特征向量之间的关系求解，计算量小2.2.定义：定义：。nABAPBAB-1设和都是阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P，则称矩阵和相似，记作AB相似矩阵的性质：相似矩阵的性质： （即有相同的特征多项式和特征值）注：特征向量不一定相同，是关于的特征向量,是关于的特征向EAEB,A BxA01P xB0量 ，从而同时可逆或不可逆AB,A B ( )( )r Ar B11nniiii ii，( ) ( )f Af B( )( )f Af B；（若均可逆） ；（为整数）TTAB11AB,A B*ABkkABk,ABAB CDCD3.定义：定义：如果与对角阵相似，则称 A 可对角化。Aiiiiiii
5、iinnnxnn rnrn nAA 有个线性无关的特征向量 若是重特征值，则必有个线性无关的特征向量（E-A) =0A有个不同的特征值 A是实对称矩阵 - （E-A)= ，即（E-A)= - 对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交（ 注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关） ； 必可用正交矩阵相似对角化（）即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；TAnPP APP AP=-1若是阶对称阵，则必有正交矩阵，使得一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,该特征值的重数=） ，；nAi()inrEAi()inrEA恰有个线性无关的特征向量对称矩阵对称矩阵 A A 对角化的步骤：对角化的步骤： （1）求出 A 的全部互不相等的特征值（是它的重数）iik（2）对每个重特征值求方程的基础解系，得个线性无关的特征向量，再把它们正交化、单位化iki()0iEA xik（3）把这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵 P，便有TP APP AP=-1
