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1、等差数列前 n 项和（二） 教学目标教学目标 1.能熟练运用求和公式和性质；2.能运用函数观点、方法处理等差数列中的最值等问题。 3.通过函数的思想，让学生感受数列是特殊的函数，感受数形结合的优势。 教学重点与难点教学重点与难点 1.能熟练运用求和公式； 2.能运用函数观点、方法处理等差数列中的最值等问题。 教学过程： 旧知复习：旧知复习： 等差数列前 n 项和公式公式 1：1() 2n nn aaS公式 2：1(1) 2nn nSnad变形：，当 d0，是一个常数项为零的二次式2 1()22nddSnan等差数列的前 n 项和的性质：已知等差数列，是其前项和，则也成等差数列。nanSn612
2、61812,S SS SS新知讲解新知讲解 1 1、等差数列性质、等差数列性质 2 2性质性质2：等差数列等差数列,分别为该数列的所有偶数项之和与所有奇数项之和，分别为该数列的所有偶数项之和与所有奇数项之和，na偶奇SS ,1、若、若共有共有项，则项，则nan21,nn aa SSndSS偶奇 奇偶2、若、若共有共有项，则项，则。na12 n1,nn SSaSSn 偶奇 偶奇证明：证明：若共有项，则nan2，112211) 1() 1(22) 1() 1(22) 1(nnnadnndnadnnnadnnnaSnadnnnadnnnaS偶奇，ndnanaSSnn1偶奇。11nnnn aa nan
3、a SS偶奇若若共有共有项，则项，则na12 nnnadnnnadnnnaS) 1(22) 1(11奇nandndandnandnnanS) 1()2()(1()2()(1(22)2)(1() 1(122偶nnnaannaSS) 1(偶奇。1) 1(nn anna SSnn偶奇学生练习（三维学生练习（三维 S27 5） （等差数列前（等差数列前 n 项和性质项和性质 2）【分析：10 项，2n，则，。】ndSS偶奇15奇S30偶SnSSd奇偶2、 已知数列已知数列的前的前 n 项和项和求求。（课本。（课本 P44，例，例 3）nanSna213n2nnaSnn例、已知数列的前项和为，求这个数列
4、的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？分析分析：由，当然要分类讨论，当 n1 时，当 n=1 时，另行1nnnaSS1nnnaSS验证。121112122 1111111(1)(1)2222 131,1122 1:22 3,22nnnnnnnnnnnSaaaaSaaanaSSnnnnnnaSaana 解：根据与可知，当时，当时也满足上式，所以数列的通项公式为由此可知，数列是一个首项为公差为的等差数列。学生练习：（P45 2）2122.3,43nnanSnn已知数列的前项和求这个数列的通项公式。47, 112 65, 212nnnna探究结论：探究结论：（课本 P4
5、5）22(1)(0)00nnnnnnnanSpnqnrpqrprarapqaSpnqnapnq数列的前项和、为常数，且当时，数列一定是等差数列当时，数列不是等差数列(2) 、为常数数列成等差数列3 3、等差数列的最值问题、等差数列的最值问题（课本 P45 例 4）4.245,4,3,77 ,nnnSSn例已知等差数列的前项和为求使得最大的序号的值。方法一、利用二次函数求最值方法一、利用二次函数求最值分析：要求前 n 项和的最值问题，由于，2 1()22nddSnan是一个二次函数的形式，我们就可以用二次函数求最值的方法做。2 2245,4,3,772 5(1)()2 7555151125()1
6、414256 1578,2nnnSnnnnnS 5解：由题意知，等差数列 的公差为7 5所以7于是，当取与最接近的整数或时取得最大值。方法二、利用等差数列的增减性，求最值方法二、利用等差数列的增减性，求最值分析：，即数列时递减数列，由于首项大于零，则递减时，到达某一项时，10,0ad会由正值变为负值，则此时和最大。（解题过程看课件）1187955,7 55405(1) ()777 08080,0,0,7,8nnnnadannananaaannS Q解：由，得又当时，取得最大。变式变式: : 155, 7ad（无最大值）115-5, 0,0,7nadadS（有最小值）15-5,- 7ad（无最小值）结论：结论：当时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为的最大值,其的值由10,0adnSn且求得.0na 10na当时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为的最小值,其的值由10,0adnSn且求得.0na 10na作业作业：P47/A 5，B 1、3 P68/A 10不交 S83-84
