《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课时提升作业2新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课时提升作业2新人教a版选修1-1（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.(2016四川高考)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是 ( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解析】选 D.由题意,y2=4x 的焦点坐标为(1,0).【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线 x+2y=3 的距离相等的点的轨迹是 ( )A.直线 B.抛物线C.圆D.双曲线【解析】选 A.因为点(1,1)在直线 x+2y=3 上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线 x+2y=3 垂直的
2、直线.2.(2016日照高二检测)抛物线 y=4x2的焦点坐标是 ( )A.(0,1)B.(1,0)C.D.(0,1 16)(1 16,0)【解析】选 C.由 y=4x2得 x2= y,1 4所以抛物线焦点在 y 轴正半轴上且 2p= ,1 4所以 p= ,所以焦点为.1 8(0,1 16)【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为 2p=4 而出错.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x2+y2-2x+6y+9=0 的圆心的抛物线的方程是 ( )A.y=-3x2B.y2=9xC.y2=-9x 或 y=3x2D.y=-3x2或 y2=9x【解析】选 D.由已知易得圆心为(1,-3),当
3、焦点在 x 轴上时设抛物线的方程是 y2=ax,将(1,-3)代入得 a=9,所以方程为 y2=9x,当焦点在 y 轴上时设抛物线的方程是 x2=ay,将(1,-3)代入得 a=- ,所以方程为 y=-3x2.1 3- 2 -4.(2016成都高二检测)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2-=1 的渐近线的距离是 ( )y2 3A.B.C.1D.1 23 23【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选 B.抛物线 y2=4x 的焦点是(1,0),双曲线 x2-=1 的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直y2 33线的距离
4、公式可得 d=.| 3 0|232【补偿训练】抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x-y=0 的距离是 ( )3A.2B.2C.D.133【解析】选 D.抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得 d=1.|2 0|25.(2016肇庆高二检测)已知 M 是抛物线 y2=2px(p0)上的点,若 M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为 5 和 4,则点 M 的横坐标为 ( )A.1B.1 或 4C.1 或 5D.4 或 5【解析】选 B.因为点 M 到对称轴的距离为 4,所以点 M 的坐标可设为(x,4)或(x,-4),又因为 M 到准线的距离为 5,所以解得或42=
5、2, + 2= 5,?x = 4, = 2,? x = 1, = 8.?二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.(2016浙江高考)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 .【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】xM+1=10xM=9.答案:97.(2016烟台高二检测)已知抛物线 y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为 .- 3 -【解析】由抛物线方程 y2=2px(p0),得其准线方程为 x=- .又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所以圆心为(3,0),
6、半p 2径为 4.依题意,得 3-=4,解得 p=2.(- 2)答案:28.(2016西安高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1米后,水面宽 米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为 y 轴建立直角坐标系.设抛物线方程为 x2=-2py(p0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得 p=1,抛物线方程为 x2=-2y.当 y=-3 时,x2=6,所以水面宽为 2米.6答案:26三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.根据下列条件
7、求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2-9y2=144 的左顶点.(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线交于点 A,|AF|=5.【解析】(1)双曲线方程化为-=1,x2 9y2 16左顶点为(-3,0).由题意设抛物线方程为y2=-2px(p0)且=-3,- 2所以 p=6,所以方程为 y2=-12x.(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线方程为y2=2px(p0),A 点坐标为(m,-3).- 4 -由抛物线定义得 5=|AF|=|m+ |.p 2又(-3)2=2pm,所以 p=1 或 p=9,故所求抛物线方程为 y2=2x 或 y2=18x.10.
8、如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管 OP=1m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面 2m,P 距抛物线的对称轴 1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到 1m)【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为 x2=-2py(p0).依题意有 P(1,-1)在此抛物线上,代入得 p= .1 2故得抛物线方程为 x2=-y.点 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代入抛物线方程得 x=,2即|AB|=,则|AB|+1=+1,22因此所求水池的直径为 2(1+)m,约为 5m,2即水池的直径至少应设计为 5m.一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5
9、5 分分, ,共共 1010 分分) )1.(2016厦门高二检测)抛物线 y2=mx 的焦点为 F,点 P(2,2)在此抛物线上,M 为线段 PF 的中点,则点2M 到该抛物线准线的距离为 ( )A.1B.C.2D.3 25 2- 5 -【解析】选 D.因为点 P(2,2)在抛物线上,2所以(2)2=2m,2所以 m=4,P 到抛物线准线的距离为 2-(-1)=3,F 到准线距离为 2,所以 M 到抛物线准线的距离为 d=3 + 22.5 22.(2015全国卷)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,1 2点 A,B 是 C 的准线与
10、E 的两个交点,则= ( )|A|A.3B.6C.9D.12【解析】选 B.设椭圆 E 的方程为+=1(ab0),右焦点为(c,0),依题意得解得 a=4,由 b2=a2-x22y22c = 2, =1 2,?c2=16-4=12,所以椭圆 E 的方程为+=1,因为抛物线 C:y2=8x 的准线为 x=-2,将 x=-2 代入到x2 16y2 12+=1,解得 y=3,所以 A(-2,3),B(-2,-3),故=6.x2 16y2 12|A|二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1010 分分) )3.(2015陕西高考)若抛物线 y2=2px(p0)的准线经过双曲线
11、 x2-y2=1 的一个焦点,则 p= .【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程 y2=2px 中 p 的意义可以求解.【解析】双曲线 x2-y2=1 的左焦点为(-,0),故抛物线 y2=2px 的准线为 x=-,所以 =,所以 p=222p 22.2答案:224.(2016南昌高二检测)抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线-=1 相交于 A,B 两点,若x2 3y2 3ABF 为等边三角形,则 p= .【解题指南】A,B,F 三点坐标都能与 p 建立起联系,分析可知ABF 的高为 p,可构造 p 的方程解决.- 6 -【解析】由题意知,ABF 的高为
12、p,将 y=- 代入双曲线方程得 A,B 两点的横坐标为 x=,因为p 23 +2 4ABF 为等边三角形,所以=tan60,从而解得 p2=36,即 p=6.p3 +2 4答案:6三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )5.一辆卡车高 3m,宽 1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍,若拱口宽为 am,求使卡车通过的 a 的最小整数值.【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系,如图所示,则 B 点的坐标为,设隧道所在抛物线方程为 x2=my,则=m,(a 2, 4)(a 2)2(- 4)所以 m
13、=-a,即抛物线方程为 x2=-ay.将(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay,即 y=-.0.82欲使卡车通过隧道,应有 y-3,即 -3,(- 4)a 40.82由于 a0,得上述不等式的解为 a12.21,所以 a 应取 13.6.已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B是抛物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q(6,0),求抛物线的方程.【解析】设抛物线的方程为 y2=2px(p0),则其准线为 x=- .p 2设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以 x1+ +x2+ =8,p 2p 2即 x1+x2=8-p.- 7 -因为 Q(6,0)在线段 AB 的垂直平分线上,所以|QA|=|QB|,即(6 1)2+ ( 1)2=,(6 2)2+ ( 2)2又=2px1,=2px2,y21y22所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,因为 AB 与 x 轴不垂直,所以 x1x2.故 x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即 p=4.从而抛物线的方程为 y2=8x.
